Se
, sabendo-se que
e
, determinar:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n $ e $ p $. Sabemos que a média $ E(X) $ é 12 e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ é 3. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade $ P(X \leq 15) $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da média e da variância da distribuição binomial:
- Média: $ E(X) = np $
- Variância: $ \operatorname{Var}(X) = np(1 - p) $
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação da média para encontrar a relação entre $ n $ e $ p $:
Isso nos diz que $ np = 12 $.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação da variância:
Como já sabemos que $ np = 12 $, podemos substituir:
Passo 4
Resolvendo para $ p $:
Passo 5
Com $ p = 0.75 $, podemos encontrar $ n $ usando $ np = 12 $:
Passo 6
Agora que sabemos que $ n = 16 $ e $ p = 0.75 $, a variável $ X $ segue uma distribuição binomial $ X \sim B(16, 0.75) $.
Passo 7
Queremos calcular $ P(X \leq 15) $. Na distribuição binomial, isso significa somar as probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 15 $.
Mas como $ n $ é pequeno (16), podemos usar uma simplificação: $ P(X \leq 15) $ é igual a $ 1 - P(X = 16) $.
Passo 8
Calculando $ P(X = 16) $:
Passo 9
Então, $ P(X \leq 15) $ é:
Resposta
A probabilidade $ P(X \leq 15) $ é igual a $ 1 - (0.75)^{16} $.