Se X sim b(n, p), sabendo-se que E(X)=12 e Var(X)=3, determinar:
P(X <= 15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição binomial com parâmetros $ n $ e $ p $. Sabemos que a média $ E(X) $ é 12 e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ é 3. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade $ P(X \leq 15) $.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da média e da variância da distribuição binomial:
  • Média: $ E(X) = np $
  • Variância: $ \operatorname{Var}(X) = np(1 - p) $

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação da média para encontrar a relação entre $ n $ e $ p $:
n
Isso nos diz que $ np = 12 $.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação da variância:
Var(X) = np(1 - p) = 3
Como já sabemos que $ np = 12 $, podemos substituir:
np = 12

Passo 4

Resolvendo para $ p $:
p
1 - p = 312
1 - p = 0.25
p = 1 - 0.25

Passo 5

Com $ p = 0.75 $, podemos encontrar $ n $ usando $ np = 12 $:
p = 0.75
n
np = 12

Passo 6

Agora que sabemos que $ n = 16 $ e $ p = 0.75 $, a variável $ X $ segue uma distribuição binomial $ X \sim B(16, 0.75) $.

Passo 7

Queremos calcular $ P(X \leq 15) $. Na distribuição binomial, isso significa somar as probabilidades de $ X = 0 $ até $ X = 15 $.
Mas como $ n $ é pequeno (16), podemos usar uma simplificação: $ P(X \leq 15) $ é igual a $ 1 - P(X = 16) $.

Passo 8

Calculando $ P(X = 16) $:
P(X = 16)
P(X = 16) = binom1616 p^16 (1 - p)^0
P(X = 16) = 1 times (0.75)^16 times 1

Passo 9

Então, $ P(X \leq 15) $ é:
P(X <= 15)

Resposta

A probabilidade $ P(X \leq 15) $ é igual a $ 1 - (0.75)^{16} $.

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