A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por: T(x)=a+b x+c x^2.Em que T esta e graus Celsius e x em metros, enquanto a=1200^circ C, b=-600^circ C / m e c=-180 C / m^2. Uma resistência elétrica gera calor Q=6250 W / m^3 na parede e sua área de seção transversal é A=20 m^2 com rho=1600 kg / m^3, k=1,2 W / m cdot K e Cp=1800 J / kg cdot K. Considerando a temperatura do ar dentro do forno Ti=1400^circ C e temperatura do ar ambiente fora do forno Te=30^circ C Determine:
Taxa de variação de temperatura em relação ao tempo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma parede de forno industrial com 40 cm de espessura, e a temperatura nessa parede é descrita por uma função quadrática: $ T(x) = a + b x + c x^{2} T(x) = a + b x + c x^2 ãéêéáééçãçã \frac{dT}{dt} $). Para isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor e calor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor gerado pela resistência elétrica afeta a temperatura da parede. O calor gerado por unidade de volume é dado por $ Q = 6250 , W/m^{3} Q = 6250 , W/m^3 éé \rho rho í C_{p} $) do material.

Passo 3

A fórmula que relaciona a taxa de variação da temperatura com o calor gerado é:
dTdt = Qrho cdot Cp
Vamos substituir os valores fornecidos:
  • $ Q = 6250 , W/m^{3} $
  • $ \rho = 1600 , kg/m^{3} $
  • $ C_{p} = 1800 , J/(kg·K) $
Substituindo na fórmula:
Q = 6250 , W/m^3
Calculando o denominador:
rho = 1600 , kg/m^3
Agora, dividindo:
Cp = 1800 , J/(kg·K)

Resposta

A taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é aproximadamente $ 0{,}00217 , °C/s $.

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