A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por:
.Em que
esta e graus Celsius e
em metros, enquanto
e
. Uma resistência elétrica gera calor
na parede e sua área de seção transversal é
e
. Considerando a temperatura do ar dentro do forno
e temperatura do ar ambiente fora do forno
Determine:
A taxa de energia armazenada na parede?
A taxa de energia armazenada na parede?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre transferência de calor através da parede de um forno industrial. O enunciado nos dá a distribuição de temperatura na parede, propriedades físicas como densidade, condutividade térmica e capacidade calorífica específica, além da geração de calor interna. Nosso objetivo é determinar a taxa de energia armazenada na parede. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de transferência de calor e energia interna.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a “taxa de energia armazenada”. Isso está relacionado à quantidade de energia térmica que está sendo armazenada na parede do forno por unidade de tempo. Para calcular isso, utilizaremos a capacidade calorífica específica, que relaciona a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma massa de material em uma certa quantidade.
A fórmula básica para a energia interna ($ U $) armazenada devido à mudança de temperatura é:
Onde:
- $ m $ é a massa da parede,
- $ C_p $ é a capacidade calorífica específica,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a massa ($ m
\rho
V $):
O volume da parede pode ser calculado multiplicando a área da seção transversal ($ A
L $):
Dado que:
- $ A = 20 , m^2 $,
- $ L = 0,40 , m $,
- $ \rho = 1600 , kg/m^3 $,
Temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar a variação de temperatura ($ \Delta T $) na parede. A temperatura varia ao longo da espessura da parede de acordo com a função dada:
Onde:
- $ a = 1200^\circ C $,
- $ b = -600^\circ C/m $,
- $ c = -180^\circ C/m^2 $.
A variação de temperatura será a diferença entre a temperatura interna do forno ($ T_i
T_e $):
Passo 5
Com a massa ($ m
\Delta T
U $):
Onde:
- $ C_p = 1800 , J/kg \cdot K $,
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos realizar o cálculo:
Passo 7
Porém, como estamos interessados na taxa de energia armazenada, precisamos considerar se há variação de temperatura ao longo do tempo. Se assumirmos que a temperatura está sendo mantida constante após a aplicação do calor, a taxa de energia armazenada será igual à taxa de geração de calor menos a taxa de perda de calor.
A taxa de geração de calor ($ Q $) é dada por:
Multiplicando pela volume:
Passo 8
Finalmente, considerando que a energia está sendo armazenada continuamente, a taxa de energia armazenada na parede é de $ 50,000 , W $, ou seja, $ 50 , kW $.
Resposta
A taxa de energia armazenada na parede é de 50 kW.