A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por: T(x)=a+b x+c x^2.Em que T esta e graus Celsius e x em metros, enquanto a=1200^circ C, b=-600^circ C / m e c=-180 C / m^2. Uma resistência elétrica gera calor Q=6250 W / m^3 na parede e sua área de seção transversal é A=20 m^2 com rho=1600 kg / m^3, k=1,2 W / m cdot K e Cp=1800 J / kg cdot K. Considerando a temperatura do ar dentro do forno Ti=1400^circ C e temperatura do ar ambiente fora do forno Te=30^circ C Determine:
A taxa de energia armazenada na parede?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre transferência de calor através da parede de um forno industrial. O enunciado nos dá a distribuição de temperatura na parede, propriedades físicas como densidade, condutividade térmica e capacidade calorífica específica, além da geração de calor interna. Nosso objetivo é determinar a taxa de energia armazenada na parede. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de transferência de calor e energia interna.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a “taxa de energia armazenada”. Isso está relacionado à quantidade de energia térmica que está sendo armazenada na parede do forno por unidade de tempo. Para calcular isso, utilizaremos a capacidade calorífica específica, que relaciona a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma massa de material em uma certa quantidade.
A fórmula básica para a energia interna ($ U $) armazenada devido à mudança de temperatura é:
U
Onde:
  • $ m $ é a massa da parede,
  • $ C_p $ é a capacidade calorífica específica,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a massa ($ m m \rho rho V $):
V
O volume da parede pode ser calculado multiplicando a área da seção transversal ($ A m = rho cdot V L $):
A
Dado que:
  • $ A = 20 , m^2 $,
  • $ L = 0,40 , m $,
  • $ \rho = 1600 , kg/m^3 $,
Temos:
L
V = A cdot L

Passo 4

Agora, vamos determinar a variação de temperatura ($ \Delta T $) na parede. A temperatura varia ao longo da espessura da parede de acordo com a função dada:
De
Onde:
  • $ a = 1200^\circ C $,
  • $ b = -600^\circ C/m $,
  • $ c = -180^\circ C/m^2 $.
A variação de temperatura será a diferença entre a temperatura interna do forno ($ T_i T(x) = a + b x + c x^2 T_e $):
a = 1200^circ C

Passo 5

Com a massa ($ m m çã \Delta T De U $):
U
Onde:
  • $ C_p = 1800 , J/kg \cdot K $,
Substituindo os valores:
U = m cdot Cp cdot De

Passo 6

Agora, vamos realizar o cálculo:
U = 12800 times 1800 times 1370
U = 12800 times 1800 = 23,040,000
U = 23,040,000 times 1370 = 31,420,800,000 , J

Passo 7

Porém, como estamos interessados na taxa de energia armazenada, precisamos considerar se há variação de temperatura ao longo do tempo. Se assumirmos que a temperatura está sendo mantida constante após a aplicação do calor, a taxa de energia armazenada será igual à taxa de geração de calor menos a taxa de perda de calor.
A taxa de geração de calor ($ Q $) é dada por:
Q
Multiplicando pela volume:
Q = 6250 , W/m^3

Passo 8

Finalmente, considerando que a energia está sendo armazenada continuamente, a taxa de energia armazenada na parede é de $ 50,000 , W $, ou seja, $ 50 , kW $.

Resposta

A taxa de energia armazenada na parede é de 50 kW.

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