A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por:
.Em que
esta e graus Celsius e
em metros, enquanto
e
. Uma resistência elétrica gera calor
na parede e sua área de seção transversal é
e
. Considerando a temperatura do ar dentro do forno
e temperatura do ar ambiente fora do forno
Determine:
Temperaturas nas superfície interna e externa da parede do forno?
Temperaturas nas superfície interna e externa da parede do forno?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre transferência de calor através da parede de um forno industrial. O enunciado nos dá uma função que descreve a distribuição de temperatura na parede e algumas propriedades físicas do material. Nosso objetivo é encontrar as temperaturas nas superfícies interna e externa da parede do forno. Para isso, vamos precisar entender conceitos de condução de calor e como o calor gerado internamente afeta a distribuição de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da distribuição de temperatura fornecida:
Onde:
- $ T(x) $ é a temperatura em graus Celsius,
- $ x $ é a posição através da espessura da parede em metros,
- $ a = 1200^{\circ} \mathrm{C} $,
- $ b = -600^{\circ} \mathrm{C}/\mathrm{m} $,
- $ c = -180 \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} $.
Essa função nos dá a temperatura em qualquer ponto $ x $ dentro da parede.
Passo 3
Agora, precisamos identificar as posições das superfícies interna e externa da parede. Sabemos que a espessura total da parede é de 40 cm, ou seja, 0,4 metros. Vamos assumir que a posição $ x = 0 $ corresponde à superfície interna e $ x = 0,4 $ metros à superfície externa.
Passo 4
Vamos calcular a temperatura na superfície interna ($ x = 0 $):
Então, a temperatura na superfície interna é $ 1200^{\circ} \mathrm{C} $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a temperatura na superfície externa ($ x = 0,4 $ m):
Substituindo os valores:
Passo 6
Fazendo as contas passo a passo:
Primeiro, calcule $ b \times 0,4 $:
Em seguida, calcule $ c \times (0,4)^{2} $:
Passo 7
Agora, some todos os termos para encontrar $ T_{externa} $:
Passo 8
Portanto, as temperaturas nas superfícies da parede do forno são:
- Superfície Interna: $ 1200^{\circ} \mathrm{C} $
- Superfície Externa: $ 931,2^{\circ} \mathrm{C} $
Resposta
As temperaturas nas superfícies da parede do forno são $ 1200^{\circ} \mathrm{C} $ na superfície interna e $ 931,2^{\circ} \mathrm{C} $ na superfície externa.