A distribuição de temperatura através da parede de um grande forno industrial com 40 cm de espessura num dado instante de tempo é dado por: T(x)=a+b x+c x^2.Em que T esta e graus Celsius e x em metros, enquanto a=1200^circ C, b=-600^circ C / m e c=-180 C / m^2. Uma resistência elétrica gera calor Q=6250 W / m^3 na parede e sua área de seção transversal é A=20 m^2 com rho=1600 kg / m^3, k=1,2 W / m cdot K e Cp=1800 J / kg cdot K. Considerando a temperatura do ar dentro do forno Ti=1400^circ C e temperatura do ar ambiente fora do forno Te=30^circ C Determine:
Temperaturas nas superfície interna e externa da parede do forno?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre transferência de calor através da parede de um forno industrial. O enunciado nos dá uma função que descreve a distribuição de temperatura na parede e algumas propriedades físicas do material. Nosso objetivo é encontrar as temperaturas nas superfícies interna e externa da parede do forno. Para isso, vamos precisar entender conceitos de condução de calor e como o calor gerado internamente afeta a distribuição de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da distribuição de temperatura fornecida:
T(x) = a + b x + c x^2
Onde:
  • $ T(x) $ é a temperatura em graus Celsius,
  • $ x $ é a posição através da espessura da parede em metros,
  • $ a = 1200^{\circ} \mathrm{C} $,
  • $ b = -600^{\circ} \mathrm{C}/\mathrm{m} $,
  • $ c = -180 \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} $.
Essa função nos dá a temperatura em qualquer ponto $ x $ dentro da parede.

Passo 3

Agora, precisamos identificar as posições das superfícies interna e externa da parede. Sabemos que a espessura total da parede é de 40 cm, ou seja, 0,4 metros. Vamos assumir que a posição $ x = 0 $ corresponde à superfície interna e $ x = 0,4 $ metros à superfície externa.

Passo 4

Vamos calcular a temperatura na superfície interna ($ x = 0 $):
x = 0
Então, a temperatura na superfície interna é $ 1200^{\circ} \mathrm{C} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a temperatura na superfície externa ($ x = 0,4 $ m):
x = 0,4
Substituindo os valores:
Texterna = a + b times 0,4 + c times (0,4)^2

Passo 6

Fazendo as contas passo a passo:
Primeiro, calcule $ b \times 0,4 $:
b times 0,4
Em seguida, calcule $ c \times (0,4)^{2} $:
-600 times 0,4 = -240

Passo 7

Agora, some todos os termos para encontrar $ T_{externa} $:
Texterna

Passo 8

Portanto, as temperaturas nas superfícies da parede do forno são:
  • Superfície Interna: $ 1200^{\circ} \mathrm{C} $
  • Superfície Externa: $ 931,2^{\circ} \mathrm{C} $

Resposta

As temperaturas nas superfícies da parede do forno são $ 1200^{\circ} \mathrm{C} $ na superfície interna e $ 931,2^{\circ} \mathrm{C} $ na superfície externa.

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