A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma T=a x^3+b x^2+c x+d. Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies ( x=0 e x=L ).
R. Eg=-3 K a L^2-2 K b L ; q^prime prime(x=0)=-K C ; q^prime prime (x=L)=-K(3 a L^2+2 b L+C)

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um exercício de transferência de calor, mais especificamente sobre condução de calor em uma parede unidimensional em regime estacionário. O enunciado nos dá a distribuição de temperatura na parede e pede para desenvolvermos expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, nos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor em regime estacionário com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da condução de calor em regime estacionário com geração interna. A equação é dada por:
d^2 Tdx^2 + Egk = 0
onde:
  • é a temperatura,
  • é a coordenada espacial,
  • é a condutividade térmica,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Precisamos relacionar isso com a expressão que nos foi dada para .

Passo 3

Vamos começar derivando a expressão da temperatura dTdx = 3a x^2 + 2b x + c duas vezes em relação a d^2 Tdx^2 = 6a x + 2b :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :

Passo 4

Agora, substituímos a segunda derivada na equação da condução de calor:
6a x + 2b + Egk = 0
Nossa meta é encontrar Eg = -k (6a x + 2b) , então vamos isolar :

Passo 5

A expressão que encontramos para Eg = -k (6a x + 2b) depende de . Para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede, podemos deixar a expressão como está, mostrando que ela varia com :

Passo 6

Agora, vamos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, ou seja, nos pontos q'' = -k dTdx e . O fluxo térmico está relacionado com o gradiente de temperatura pela lei de Fourier:
Vamos calcular nos dois pontos.

Passo 7

Primeiro, calculamos dTdx |x=0 = 3a (0)^2 + 2b (0) + c = c em q''(0) = -k cdot c :
Então,

Passo 8

Agora, calculamos dTdx |x=L = 3a L^2 + 2b L + c em q''(L) = -k (3a L^2 + 2b L + c) :
Primeiro, a primeira derivada em :
Então,

Resposta

A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é:
Eg = -k (6a x + 2b)
E os fluxos térmicos nas superfícies da parede são:
q''(0) = -k cdot c
q''(L) = -k (3a L^2 + 2b L + c)

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