A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica e espessura tem a forma . Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies ( e ).
R.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um exercício de transferência de calor, mais especificamente sobre condução de calor em uma parede unidimensional em regime estacionário. O enunciado nos dá a distribuição de temperatura na parede e pede para desenvolvermos expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, nos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor em regime estacionário com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da condução de calor em regime estacionário com geração interna. A equação é dada por:
onde:
  • é a temperatura,
  • é a coordenada espacial,
  • é a condutividade térmica,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Precisamos relacionar isso com a expressão que nos foi dada para .

Passo 3

Vamos começar derivando a expressão da temperatura duas vezes em relação a :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :

Passo 4

Agora, substituímos a segunda derivada na equação da condução de calor:
Nossa meta é encontrar , então vamos isolar :

Passo 5

A expressão que encontramos para depende de . Para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede, podemos deixar a expressão como está, mostrando que ela varia com :

Passo 6

Agora, vamos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, ou seja, nos pontos e . O fluxo térmico está relacionado com o gradiente de temperatura pela lei de Fourier:
Vamos calcular nos dois pontos.

Passo 7

Primeiro, calculamos em :
Então,

Passo 8

Agora, calculamos em :
Primeiro, a primeira derivada em :
Então,

Resposta

A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é:
E os fluxos térmicos nas superfícies da parede são:

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Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
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(a) Qual é a taxa de geração de calor na parede?
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