A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica e espessura tem a forma . Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies ( e ).
R.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um exercício de transferência de calor, mais especificamente sobre condução de calor em uma parede unidimensional em regime estacionário. O enunciado nos dá a distribuição de temperatura na parede e pede para desenvolvermos expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, nos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor em regime estacionário com geração interna.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral da condução de calor em regime estacionário com geração interna. A equação é dada por:
onde:
é a temperatura,
é a coordenada espacial,
é a condutividade térmica,
é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Precisamos relacionar isso com a expressão que nos foi dada para .
Passo 3
Vamos começar derivando a expressão da temperatura duas vezes em relação a :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Passo 4
Agora, substituímos a segunda derivada na equação da condução de calor:
Nossa meta é encontrar , então vamos isolar :
Passo 5
A expressão que encontramos para depende de . Para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede, podemos deixar a expressão como está, mostrando que ela varia com :
Passo 6
Agora, vamos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, ou seja, nos pontos e . O fluxo térmico está relacionado com o gradiente de temperatura pela lei de Fourier:
Vamos calcular nos dois pontos.
Passo 7
Primeiro, calculamos em :
Então,
Passo 8
Agora, calculamos em :
Primeiro, a primeira derivada em :
Então,
Resposta
A taxa de geração de calor por unidade de volume na parede é:
E os fluxos térmicos nas superfícies da parede são: