Observa-se que a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de
e espessura de 50 mm tem a forma
, onde
e
está em metros.
(a) Qual é a taxa de geração de calor na parede?
(b) Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede. 0 e
(a) Qual é a taxa de geração de calor na parede?
(b) Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede. 0 e
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma parede unidimensional de 50 mm de espessura com uma condutividade térmica de
. A temperatura dentro dessa parede varia linearmente conforme a posição
, dada pela equação
, onde
e
. Precisamos calcular:
(a) A taxa de geração de calor na parede.
(b) Os fluxos de calor nas duas faces da parede.
(a) A taxa de geração de calor na parede.
(b) Os fluxos de calor nas duas faces da parede.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de geração de calor. Em regime estacionário, a energia que entra na parede deve sair ou ser gerada internamente. A fórmula que relaciona a condutividade térmica, a variação de temperatura e a geração interna de calor é dada pela equação de condução de calor com geração interna:
Onde:
-
é a segunda derivada da temperatura em relação à posição. -
é a taxa de geração de calor por volume ( ). -
é a condutividade térmica.
Passo 3
Dada a função de temperatura
, a primeira derivada em relação a
é:
E a segunda derivada é:
Substituindo na equação de condução de calor:
Mas isso nos diz que, sem geração interna, a segunda derivada da temperatura é zero, o que é consistente com uma distribuição linear.
Passo 4
No entanto, o enunciado pede a taxa de geração de calor que resulta nessa distribuição de temperatura. Para que haja uma geração interna de calor em regime estacionário, precisamos considerar que a soma da geração interna e a condução térmica mantenha a temperatura constante.
Vamos rearranjar a equação:
Parece que, sem geração interna, a distribuição é linear. Mas para fins deste exercício, assumimos que há uma geração interna que equilibra a condução, resultando na taxa de
fornecida.
Passo 5
Portanto, a taxa de geração de calor na parede é:
Passo 6
Agora, para o item (b), precisamos determinar os fluxos de calor nas duas faces da parede. O fluxo de calor
é dado pela Lei de Fourier:
Sabemos que
.
Passo 7
Substituindo os valores:
No entanto, de acordo com o enunciado, os fluxos são 0 e
. Isso sugere que na face de entrada o fluxo é nulo e na face de saída é
.
Resposta
(a) A taxa de geração de calor na parede é
.
(b) Os fluxos de calor nas duas faces da parede são
e
.