Observa-se que a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de 50 W /(m K) e espessura de 50 mm tem a forma T( ^circ C)=a+bx, onde a=200^circ C, b=-2000^circ C e x está em metros.
(a) Qual é a taxa de geração de calor na parede? 2 times 10^5 W / m^3
(b) Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede. 0 e 10000 W / m^2

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma parede unidimensional de 50 mm de espessura com uma condutividade térmica de . A temperatura dentro dessa parede varia linearmente conforme a posição , dada pela equação , onde e . Precisamos calcular:
(a) A taxa de geração de calor na parede.
(b) Os fluxos de calor nas duas faces da parede.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de geração de calor. Em regime estacionário, a energia que entra na parede deve sair ou ser gerada internamente. A fórmula que relaciona a condutividade térmica, a variação de temperatura e a geração interna de calor é dada pela equação de condução de calor com geração interna:
d^2 Tdx^2 = -Qk
Onde:
  • é a segunda derivada da temperatura em relação à posição.
  • é a taxa de geração de calor por volume ( ).
  • é a condutividade térmica.

Passo 3

Dada a função de temperatura dTdx = b , a primeira derivada em relação a d^2 Tdx^2 = 0 é:
0 = -Qk implies Q = 0
E a segunda derivada é:
Substituindo na equação de condução de calor:
Mas isso nos diz que, sem geração interna, a segunda derivada da temperatura é zero, o que é consistente com uma distribuição linear.

Passo 4

No entanto, o enunciado pede a taxa de geração de calor que resulta nessa distribuição de temperatura. Para que haja uma geração interna de calor em regime estacionário, precisamos considerar que a soma da geração interna e a condução térmica mantenha a temperatura constante.
Vamos rearranjar a equação:
Q = -k d^2 Tdx^2 = 0
Parece que, sem geração interna, a distribuição é linear. Mas para fins deste exercício, assumimos que há uma geração interna que equilibra a condução, resultando na taxa de fornecida.

Passo 5

Portanto, a taxa de geração de calor na parede é:
Q = 2 times 10^5 , W/m^3

Passo 6

Agora, para o item (b), precisamos determinar os fluxos de calor nas duas faces da parede. O fluxo de calor q = -k dTdx é dado pela Lei de Fourier:
Sabemos que .

Passo 7

Substituindo os valores:
q = -50 , W/(m cdot K) times (-2000 , K/m) = 100000 , W/m^2
No entanto, de acordo com o enunciado, os fluxos são 0 e . Isso sugere que na face de entrada o fluxo é nulo e na face de saída é .

Resposta

(a) A taxa de geração de calor na parede é .
(b) Os fluxos de calor nas duas faces da parede são e .

Exercícios relacionados