Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial
, ou seja,
, usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, como ele é representado em álgebra tensorial e aplicar essas ideias nas coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial,
, mede a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. Em termos de Álgebra Tensorial, o rotacional pode ser expresso usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma maneira elegante de lidar com produtos vetoriais e operações em múltiplas dimensões.
Passo 3
A definição tensorial do rotacional em coordenadas cartesianas usa o símbolo de Levi-Civita
. A fórmula geral é:
Aqui,
,
e
são índices que variam de 1 a 3, correspondendo às direções
,
e
nas coordenadas cartesianas. O símbolo de Levi-Civita
é zero se alguma das índices se repete, +1 se
for uma permutação par de (1,2,3), e -1 se for uma permutação ímpar.
Passo 4
Para calcular o rotacional, precisamos expandir essa expressão. Vamos considerar que
tem componentes
correspondentes às direções
,
e
. Então, o rotacional fica:
Isso significa que cada componente do rotacional é a diferença entre as derivadas parciais das componentes do campo vetorial.
Passo 5
Vamos resumir: para encontrar
em coordenadas cartesianas usando Álgebra Tensorial, utilizamos o símbolo de Levi-Civita para expressar as combinações das derivadas parciais das componentes de
. Isso nos dá uma maneira sistemática de calcular o rotacional em qualquer direção.
Resposta
O rotacional do campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dado por: