Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas. nabla times v

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial v, ou seja, nabla times v, usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, como ele é representado em álgebra tensorial e aplicar essas ideias nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial, nabla times v, mede a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. Em termos de Álgebra Tensorial, o rotacional pode ser expresso usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma maneira elegante de lidar com produtos vetoriais e operações em múltiplas dimensões.

Passo 3

A definição tensorial do rotacional em coordenadas cartesianas usa o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk. A fórmula geral é:
(nabla times v)i = varepsilonijk partial vkpartial xj
Aqui, i, j e k são índices que variam de 1 a 3, correspondendo às direções x, y e z nas coordenadas cartesianas. O símbolo de Levi-Civita varepsilonijk é zero se alguma das índices se repete, +1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), e -1 se for uma permutação ímpar.

Passo 4

Para calcular o rotacional, precisamos expandir essa expressão. Vamos considerar que v tem componentes (v1, v2, v3) correspondentes às direções x, y e z. Então, o rotacional fica:
nabla times v = ( partial v3partial y - partial v2partial z ) e1 + ( partial v1partial z - partial v3partial x ) e2 + ( partial v2partial x - partial v1partial y ) e3
Isso significa que cada componente do rotacional é a diferença entre as derivadas parciais das componentes do campo vetorial.

Passo 5

Vamos resumir: para encontrar nabla times v em coordenadas cartesianas usando Álgebra Tensorial, utilizamos o símbolo de Levi-Civita para expressar as combinações das derivadas parciais das componentes de v. Isso nos dá uma maneira sistemática de calcular o rotacional em qualquer direção.

Resposta

O rotacional do campo vetorial v em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times v = ( partial v3partial y - partial v2partial z ) e1 + ( partial v1partial z - partial v3partial x ) e2 + ( partial v2partial x - partial v1partial y ) e3

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