Utilizando Álgebra tensorial, calcular os resultados das operações a seguir em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para calcular o rotacional de um campo vetorial , ou seja, , usando Álgebra Tensorial em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, como ele é representado em álgebra tensorial e aplicar essas ideias nas coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial, , mede a tendência do campo vetorial de girar ao redor de um ponto. Em termos de Álgebra Tensorial, o rotacional pode ser expresso usando o símbolo de Levi-Civita, que é uma maneira elegante de lidar com produtos vetoriais e operações em múltiplas dimensões.

Passo 3

A definição tensorial do rotacional em coordenadas cartesianas usa o símbolo de Levi-Civita . A fórmula geral é:
Aqui, , e são índices que variam de 1 a 3, correspondendo às direções , e nas coordenadas cartesianas. O símbolo de Levi-Civita é zero se alguma das índices se repete, +1 se for uma permutação par de (1,2,3), e -1 se for uma permutação ímpar.

Passo 4

Para calcular o rotacional, precisamos expandir essa expressão. Vamos considerar que tem componentes correspondentes às direções , e . Então, o rotacional fica:
Isso significa que cada componente do rotacional é a diferença entre as derivadas parciais das componentes do campo vetorial.

Passo 5

Vamos resumir: para encontrar em coordenadas cartesianas usando Álgebra Tensorial, utilizamos o símbolo de Levi-Civita para expressar as combinações das derivadas parciais das componentes de . Isso nos dá uma maneira sistemática de calcular o rotacional em qualquer direção.

Resposta

O rotacional do campo vetorial em coordenadas cartesianas é dado por:

Exercícios relacionados

A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica e espessura tem a forma . Desenvolva expressões para a taxa de geração de calor por unidade de volume na parede e para os fluxos térmicos em suas duas superfícies ( e ).
R.
Ar entra em um compressor a 14 psia e , com velocidade desprezível e é descarregado a 70 psia e , com velocidade de . Se a potência fornecida ao compressor é 3200 hp e a vazăo em massa é , determine a taxa de transferência de calor.
Observa-se que a distribuição de temperaturas, em estado estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de e espessura de 50 mm tem a forma , onde e está em metros.
(a) Qual é a taxa de geração de calor na parede?
(b) Determine os fluxos de calor nas duas faces da parede. 0 e
Considere uma grande parede plana de espessura , condutividade térmica e área . Os dois lados da parede são mantidos a temperaturas constantes de e , respectivamente. Determine:
(a) A variação de temperatura na parede e o valor da temperatura em
(b) A taxa de condução de calor pela parede sob condições permanentes. R. q=6300W