A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas (veja a Figura abaixo) é dada pela equação:
onde V é a velocidade média.
O fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a
. Admitindo que
, determine:
(a) a expressão geral da tensão de cisalhamento em função de y. ( 1,0 pt)
O fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a
(a) a expressão geral da tensão de cisalhamento em função de y. ( 1,0 pt)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fluido newtoniano escoando entre duas placas paralelas e queremos descobrir como varia a tensão de cisalhamento,
, em função da posição
entre as placas. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a relação entre a viscosidade, a velocidade do fluido e a variação dessa velocidade com a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento
está relacionada com a viscosidade dinâmica
e a derivada da velocidade
em relação a
. A fórmula é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A equação dada para a velocidade do fluido é:
Vamos calcular a derivada dessa função em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, podemos substituir na fórmula da tensão de cisalhamento:
Como a tensão de cisalhamento é geralmente considerada positiva no sentido oposto ao fluxo, podemos omitir o sinal negativo:
Resposta
A expressão geral da tensão de cisalhamento em função de
é: