Uma placa de alumínio, com 4 mm de espessura, encontra-se na posição horizontal e a sua superfície inferior está isolada termicamente. Um fino revestimento especial é aplicado sobre sua superfície superior de tal forma que ela absorva 80% de qualquer radiação solar nela incidente, enquanto tem uma emissividade de 0,25. A densidade rho e o calor específico c do alumínio são conhecidos, sendo iguais a 2700 kg / m^3 e 900 J /(kg cdot K), respectivamente.
(a) Considere condições nas quais a placa está à temperatura de 25^circ C e a sua superfície superior é subitamente exposta ao ar ambiente a Tinfty=20^circ C à radiação solar que fornece um fluxo incidente de 900 W / m^2. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície e o ar é de h=20 W /(m^2 cdot K). Qual é a taxa inicial da variação da temperatura da placa?
(b) Qual será a temperatura de equilíbrio da placa quando as condições de regime estacionário forem atingidas?
© As propriedades radiantes da superfície dependem da natureza específica do revestimento aplicado. Calcule e represente graficamente a temperatura no regime estacionário como uma função da emissividade para 0,05 <= varepsilon <= 1, com todas as outras condições mantidas como especificado. Repita os seus cálculos para valores de alphaS=0,5 e 1,0; e coloque os resultados no gráfico juntamente com os para alphas=0,8. Se a intenção é de maximizar a temperatura da placa, qual é a combinação mais desejável da emissividade e da absortividade para a radiação solar da placa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa de alumínio com 4 mm de espessura, que está na posição horizontal. A superfície de baixo está isolada termicamente, e a de cima tem um revestimento que absorve 80% da radiação solar e tem emissividade de 0,25. Sabemos a densidade ( rho = 2700 , kg/m^3) e o calor específico ( c = 900 , J/(kg·K)) do alumínio. Precisamos calcular a taxa de variação inicial da temperatura da placa quando ela é exposta a certas condições ambientais e radiação solar.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. Queremos encontrar a taxa inicial de variação da temperatura da placa. Para isso, precisamos considerar o balanço de energia na placa: a energia que entra é a radiação solar absorvida, e a energia que sai é por convecção e radiação emitida pela superfície.

Passo 3

A energia absorvida pela placa vem da radiação solar. Como a absortividade ( alpha) é 0,8 e o fluxo de radiação incidente ( G) é 900 , W/m^2, a potência absorvida por unidade de área é:
Pabsorvida = alpha cdot G = 0,8 times 900 = 720 , W/m^2

Passo 4

Agora, a energia perdida pela placa ocorre por dois mecanismos: convecção e radiação. A potência perdida por convecção ( Pconv) é dada por:
Pconv = h cdot (T - Tinfty)
Onde:
  • h = 20 , W/(m^2cdotK),
  • T é a temperatura da placa,
  • Tinfty = 20^circC é a temperatura do ar ambiente.

Passo 5

A potência perdida por radiação ( Prad) é calculada pela Lei de Stefan-Boltzmann:
Prad = varepsilon cdot sigma cdot (T^4 - Tinfty^4)
Onde:
  • varepsilon = 0,25,
  • sigma = 5,67 times 10^-8 , W/(m^2cdotK^4) é a constante de Stefan-Boltzmann.

Passo 6

Como a placa está inicialmente a 25^circC, a variação inicial da temperatura depende da diferença de potência absorvida e perdida. Usamos a equação de balanço de energia:
rho cdot c cdot V cdot dTdt = Pabsorvida - Pconv - Prad
Onde V é o volume da placa. Como estamos considerando a variação inicial, podemos simplificar considerando apenas as áreas e espessura.

Passo 7

Calculamos o volume V da placa:
V = A cdot d
Como estamos interessados na taxa por unidade de área, podemos simplificar a equação dividindo por A:
rho cdot c cdot d cdot dTdt = Pabsorvida - Pconv - Prad
Onde d = 0,004 , m é a espessura da placa.

Passo 8

Rearranjando para encontrar dTdt:
dTdt = Pabsorvida - Pconv - Pradrho cdot c cdot d

Passo 9

Substituindo os valores:
  • Pabsorida = 720 , W/m^2,
  • Pconv = h cdot (T - Tinfty) = 20 cdot (25 - 20) = 100 , W/m^2,
  • Para Prad, primeiro converter a temperatura para Kelvin: 25^circC = 298 , K, 20^circC = 293 , K,
Prad = 0,25 times 5,67 times 10^-8 times (298^4 - 293^4)
Calculando Prad aproximadamente.

Passo 10

Calculando Prad:
298^4 = 7,895 times 10^9 , K^4
293^4 = 7,310 times 10^9 , K^4
Prad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times (7,895 - 7,310) times 10^9
Prad approx 0,25 times 5,67 times 10^-8 times 0,585 times 10^9
Prad approx 8,3 , W/m^2

Passo 11

Agora, substituindo na equação da taxa de variação:
dTdt = 720 - 100 - 8,32700 times 900 times 0,004
dTdt = 611,79,72 approx 62,9 , K/s

Resposta

A taxa inicial de variação da temperatura da placa é aproximadamente 62,9 , K/s.

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