A distribuição de velocidade do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas (veja a Figura abaixo) é dada pela equação:
u=3 V2(1-(yh)^2)
onde V é a velocidade média.
O fluido apresenta viscosidade dinâmica igual a 1,92 N s / m^2. Admitindo que V= 0.6 m / s e h=5 mm, determine:
(b) a tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. (0,75 pt)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de mecânica dos fluidos que fala sobre como a velocidade de um fluido se distribui entre duas placas paralelas. A equação que nos dá essa distribuição é:
u = 3 V2 (1 - (yh)^2 )
Aqui, é a velocidade média do fluido, é a distância entre as placas, e é a posição vertical dentro do canal. A gente vai precisar usar essa equação e os valores fornecidos para calcular a tensão de cisalhamento no centro do canal. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento ( tau = mu cdot dudy ) em um fluido newtoniano é dada por:
Onde:
  • é a viscosidade dinâmica do fluido.
  • é a derivada da velocidade em relação à posição .
Nosso objetivo é encontrar no plano central do canal, ou seja, quando .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função de velocidade u = 3 V2 (1 - (yh)^2 ) em relação a dudy = 3 V2 cdot ( -2 cdot yh^2 ) = -3 V yh^2 . A função é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir dudy |y=0 = -3 V cdot 0h^2 = 0 na derivada para encontrar a taxa de variação da velocidade no centro do canal:
Isso significa que a derivada da velocidade em relação a no centro é zero.

Passo 5

Com a derivada encontrada, podemos calcular a tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot dudy = 1,92 N cdot s/m^2 cdot 0 = 0 N/m^2

Resposta

A tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é .

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