Um reservatório esférico é usado para armazenar um material a alta temperatura. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita por um material com condutividade térmica
. Na parte interna da parede, em
, a temperatura é
. Na parte externa da parede, em
, a temperatura é
. A equação diferencial que governa o comportamento da temperatura dentro da parede (em regime permanente e com simetria em relação ao ponto central) é dada por:
(a) Resolvendo a equação acima e utilizando as condições de contorno adequadas, mostre que a temperatura dentro da parede, considerando
constante, é dada por:
(b) Determine a taxa de condução radial de calor pela parede. (A área de uma superfície esférica de raio
é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um reservatório esférico que armazena um material bem quente. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita de um material que conduz calor com uma certa eficiência, representada pela condutividade térmica
. A temperatura na parte interna da parede, no raio
, é
, e na parte externa, no raio
, é
.
O conteúdo abordado aqui é condução térmica em geometria esférica. Para resolver, vamos precisar usar a equação diferencial da condução térmica em regime permanente com simetria esférica, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia com o raio
dentro da parede do reservatório.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, que pede para resolver a equação diferencial dada e mostrar que a temperatura dentro da parede é expressa pela fórmula fornecida.
A equação diferencial que descreve a temperatura
em função do raio
é:
Como
é constante, podemos simplificar a equaç��o:
Passo 3
Agora, vamos integrar a equação. A derivada de algo igual a zero significa que esse “algo” é uma constante. Então, temos:
Onde
é uma constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Para encontrar
, vamos integrar novamente a equação:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
. As condições são:
Substituindo na equação de
:
Passo 6
Vamos resolver essas duas equações para encontrar
e
. Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Isolando
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na equação (1) para encontrar
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos todas as constantes necessárias. Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando os termos:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos determinar a taxa de condução radial de calor pela parede.
A lei de condução de calor de Fourier nos diz que a taxa de calor
que passa por uma área
é dada por:
No caso da geometria esférica, a área
de uma superfície esférica de raio
é:
Passo 10
Vamos usar a expressão da derivada da temperatura que já encontramos:
Substituindo na fórmula da taxa de condução de calor:
Passo 11
Note que o sinal negativo indica a direção do fluxo de calor, mas como estamos interessados apenas na taxa de transferência, podemos considerar o valor absoluto:
Resposta
A taxa de condução radial de calor pela parede do reservatório é:
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?
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