Um reservatório esférico é usado para armazenar um material a alta temperatura. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita por um material com condutividade térmica k. Na parte interna da parede, em r=r1, a temperatura é T1. Na parte externa da parede, em r=r2, a temperatura é T2. A equação diferencial que governa o comportamento da temperatura dentro da parede (em regime permanente e com simetria em relação ao ponto central) é dada por:
1r^2 dd r(k r^2 d Td r)=0
(a) Resolvendo a equação acima e utilizando as condições de contorno adequadas, mostre que a temperatura dentro da parede, considerando k constante, é dada por:
T(r)=r1 r2r(r2-r1)(T1-T2)+r2 T2-r1 T1r2-r1
(b) Determine a taxa de condução radial de calor pela parede. (A área de uma superfície esférica de raio r é 4 pi r^2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um reservatório esférico que armazena um material bem quente. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita de um material que conduz calor com uma certa eficiência, representada pela condutividade térmica . A temperatura na parte interna da parede, no raio , é , e na parte externa, no raio , é .
O conteúdo abordado aqui é condução térmica em geometria esférica. Para resolver, vamos precisar usar a equação diferencial da condução térmica em regime permanente com simetria esférica, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia com o raio dentro da parede do reservatório.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, que pede para resolver a equação diferencial dada e mostrar que a temperatura dentro da parede é expressa pela fórmula fornecida.
A equação diferencial que descreve a temperatura 1r^2 dd r(k r^2 d Td r) = 0 em função do raio dd r(r^2 d Td r) = 0 é:
Como é constante, podemos simplificar a equaç��o:

Passo 3

Agora, vamos integrar a equação. A derivada de algo igual a zero significa que esse “algo” é uma constante. Então, temos:
r^2 d Td r = C
Onde é uma constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Para encontrar d Td r = Cr^2 , vamos integrar novamente a equação:
T(r) = -Cr + D
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes T1 = -Cr1 + D (1) e T2 = -Cr2 + D (2) . As condições são:
Substituindo na equação de :

Passo 6

Vamos resolver essas duas equações para encontrar T1 - T2 = -Cr1 + D + Cr2 - D = C(1r2 - 1r1) e C = T1 - T21r2 - 1r1 = (T1 - T2) r1 r2r1 - r2 = r1 r2 (T1 - T2)r2 - r1 . Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Isolando :

Passo 7

Agora, substituímos T1 = -Cr1 + D Rightarrow D = T1 + Cr1 de volta na equação (1) para encontrar D = T1 + r1 r2 (T1 - T2)(r2 - r1) r1 = T1 + r2 (T1 - T2)r2 - r1 :
D = r1 T1 + r2 T2 - r1 T2r2 - r1 = r2 T2 - r1 T1r2 - r1
Substituindo :
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos todas as constantes necessárias. Substituímos T(r) = -Cr + D = -r1 r2 (T1 - T2)(r2 - r1) r + r2 T2 - r1 T1r2 - r1 e T(r) = r1 r2 (T1 - T2)r (r2 - r1) + r2 T2 - r1 T1r2 - r1 na expressão de :
Simplificando os termos:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos determinar a taxa de condução radial de calor pela parede.
A lei de condução de calor de Fourier nos diz que a taxa de calor dotQ = -k A dTdr que passa por uma área A = 4 pi r^2 é dada por:
No caso da geometria esférica, a área de uma superfície esférica de raio é:

Passo 10

Vamos usar a expressão da derivada da temperatura que já encontramos:
dTdr = Cr^2 = r1 r2 (T1 - T2)(r2 - r1) r^2
Substituindo na fórmula da taxa de condução de calor:
dotQ = -k cdot 4 pi r^2 cdot r1 r2 (T1 - T2)(r2 - r1) r^2 = -k cdot 4 pi cdot r1 r2 (T1 - T2)r2 - r1

Passo 11

Note que o sinal negativo indica a direção do fluxo de calor, mas como estamos interessados apenas na taxa de transferência, podemos considerar o valor absoluto:
dotQ = 4 pi k r1 r2 (T1 - T2)r2 - r1

Resposta

A taxa de condução radial de calor pela parede do reservatório é:
dotQ = 4 pi k r1 r2 (T1 - T2)r2 - r1

Exercícios relacionados