Um reservatório esférico é usado para armazenar um material a alta temperatura. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita por um material com condutividade térmica . Na parte interna da parede, em , a temperatura é . Na parte externa da parede, em , a temperatura é . A equação diferencial que governa o comportamento da temperatura dentro da parede (em regime permanente e com simetria em relação ao ponto central) é dada por:
(a) Resolvendo a equação acima e utilizando as condições de contorno adequadas, mostre que a temperatura dentro da parede, considerando constante, é dada por:
(b) Determine a taxa de condução radial de calor pela parede. (A área de uma superfície esférica de raio é .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente tem um reservatório esférico que armazena um material bem quente. A parede desse reservatório é uma casca esférica feita de um material que conduz calor com uma certa eficiência, representada pela condutividade térmica . A temperatura na parte interna da parede, no raio , é , e na parte externa, no raio , é .
O conteúdo abordado aqui é condução térmica em geometria esférica. Para resolver, vamos precisar usar a equação diferencial da condução térmica em regime permanente com simetria esférica, que nos ajuda a encontrar como a temperatura varia com o raio dentro da parede do reservatório.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, que pede para resolver a equação diferencial dada e mostrar que a temperatura dentro da parede é expressa pela fórmula fornecida.
A equação diferencial que descreve a temperatura em função do raio é:
Como é constante, podemos simplificar a equaç��o:

Passo 3

Agora, vamos integrar a equação. A derivada de algo igual a zero significa que esse “algo” é uma constante. Então, temos:
Onde é uma constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Para encontrar , vamos integrar novamente a equação:
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e . As condições são:
Substituindo na equação de :

Passo 6

Vamos resolver essas duas equações para encontrar e . Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Isolando :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação (1) para encontrar :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 8

Agora, temos todas as constantes necessárias. Substituímos e na expressão de :
Simplificando os termos:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos determinar a taxa de condução radial de calor pela parede.
A lei de condução de calor de Fourier nos diz que a taxa de calor que passa por uma área é dada por:
No caso da geometria esférica, a área de uma superfície esférica de raio é:

Passo 10

Vamos usar a expressão da derivada da temperatura que já encontramos:
Substituindo na fórmula da taxa de condução de calor:

Passo 11

Note que o sinal negativo indica a direção do fluxo de calor, mas como estamos interessados apenas na taxa de transferência, podemos considerar o valor absoluto:

Resposta

A taxa de condução radial de calor pela parede do reservatório é:

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