A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dado por
vxvx^max =1-(2 yh)^2
em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15 C, com vx^max =0.10 m / s e h=0.1 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e de o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o escoamento laminar entre duas placas paralelas. O objetivo é encontrar a tensão de cisalhamento na placa de cima e entender em que direção ela atua. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da velocidade do fluxo e entender como calcular a tensão de cisalhamento a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
vxvx^max = 1 - (2 yh)^2
Essa equação nos diz como a velocidade do fluido varia em função da posição perpendicular às placas. é a velocidade no ponto , é a velocidade máxima no meio do canal, e é a distância entre as placas.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento ( tau = mu dvxdy ), usamos a relação:
Aqui, é a viscosidade dinâmica da água a 15°C. Primeiro, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação a .

Passo 4

Vamos derivar vx = vx^max [1 - (2 yh)^2] em relação a dvxdy = vx^max cdot (-2 cdot 2 yh^2) = -4 vx^max yh^2 . A velocidade é dada por:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos a derivada na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu (-4 vx^max yh^2) = -4 mu vx^max yh^2
A tensão de cisalhamento é negativa, o que indica que a força está agindo na direção oposta ao fluxo.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior. Na placa superior, tau = -4 mu vx^max (h2)h^2 = -2 mu vx^maxh . Substituindo:

Passo 7

A viscosidade da água a 15°C é aproximadamente tau = -2 times 1.14 times 10^-3 times 0.100.1 times 10^-3 = -2 times 1.14 times 10^-3 times 0.100.1 times 10^-3 = -2.28 , Pa . Substituindo os valores:

Passo 8

O sinal negativo mostra que a tensão de cisalhamento está agindo para desacelerar o fluido, ou seja, na direção oposta ao fluxo. Na placa superior, a tensão de cisalhamento atua direcionada para trás, resistindo ao movimento do fluido.

Passo 9

Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento, observamos que ela é linearmente proporcional a a partir da derivada da velocidade. No meio do canal ( ), a tensão é zero, e aumenta linearmente nas proximidades das placas, alcançando seu máximo na placa superior.

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de e atua na direção oposta ao fluxo do escoamento.

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