A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dado por
em que
é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a
, com
e
. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e de o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o escoamento laminar entre duas placas paralelas. O objetivo é encontrar a tensão de cisalhamento na placa de cima e entender em que direção ela atua. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da velocidade do fluxo e entender como calcular a tensão de cisalhamento a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
Essa equação nos diz como a velocidade do fluido varia em função da posição
perpendicular às placas.
é a velocidade no ponto
,
é a velocidade máxima no meio do canal, e
é a distância entre as placas.
Passo 3
Para encontrar a tensão de cisalhamento (
), usamos a relação:
Aqui,
é a viscosidade dinâmica da água a 15°C. Primeiro, precisamos calcular a derivada da velocidade em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. A velocidade
é dada por:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos a derivada na fórmula da tensão de cisalhamento:
A tensão de cisalhamento é negativa, o que indica que a força está agindo na direção oposta ao fluxo.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior. Na placa superior,
. Substituindo:
Passo 7
A viscosidade da água a 15°C é aproximadamente
. Substituindo os valores:
Passo 8
O sinal negativo mostra que a tensão de cisalhamento está agindo para desacelerar o fluido, ou seja, na direção oposta ao fluxo. Na placa superior, a tensão de cisalhamento atua direcionada para trás, resistindo ao movimento do fluido.
Passo 9
Para esboçar a variação da tensão de cisalhamento, observamos que ela é linearmente proporcional a
a partir da derivada da velocidade. No meio do canal (
), a tensão é zero, e aumenta linearmente nas proximidades das placas, alcançando seu máximo na placa superior.
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de
e atua na direção oposta ao fluxo do escoamento.