Sabe-se que o coeficiente de arrasto sobre uma esfera é mínimo quando o número de Reynolds do escoamento em que ela está imersa vale 5 times 10^5 e o valor de Cdd neste ponto vale 0,1 . Qual deve ser a massa de uma esfera com 0,2 m de diâmetro para que ela consiga atingir a velocidade terminal neste ponto de menor coeficiente de arrasto quando em queda livre no ar a 30^circ C ? Qual sua velocidade terminal? (2,0)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão de física passo a passo. A gente precisa encontrar a massa de uma esfera com diâmetro de 0,2 metros que atinge a velocidade terminal no ponto onde o coeficiente de arrasto é mínimo. Além disso, vamos descobrir qual é essa velocidade terminal. Para isso, vamos usar conceitos de força de arrasto, número de Reynolds e velocidade terminal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a força de arrasto. Ela é a força que age contra o movimento de um objeto através de um fluido, como o ar. A fórmula da força de arrasto é:
Fd = 12 rho v^2 Cd A
Onde:
  • é a força de arrasto,
  • é a densidade do ar,
  • é a velocidade do objeto,
  • é o coeficiente de arrasto,
  • é a área de seção transversal da esfera.

Passo 3

No ponto de velocidade terminal, a força de arrasto iguala o peso da esfera. Ou seja:
m cdot g = 12 rho v^2 Cd A
Onde é a massa da esfera e é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 4

Vamos calcular a área de seção transversal A = pi r^2 da esfera. A área de uma esfera é:
A = pi (0,1)^2 = 0,01pi , m^2
Com o diâmetro , o raio é . Então:

Passo 5

Precisamos da densidade do ar rho = PR cdot T a rho approx 101325287 cdot 303 approx 1,184 , kg/m^3 . A densidade do ar pode ser aproximada usando a fórmula:
Assumindo pressão atmosférica e a constante dos gases , e temperatura (30°C + 273):

Passo 6

Sabemos que o número de Reynolds v = Re cdot murho cdot d e v = 5 times 10^5 cdot 1,81 times 10^-51,184 cdot 0,2 approx 38,2 , m/s , onde é a viscosidade do ar. Rearranjando para encontrar :
Assumindo :

Passo 7

Agora, voltamos à equação da velocidade terminal:
m cdot g = 12 rho v^2 Cd A
Isolando m = 12 rho v^2 Cd Ag :
m = 0,5 cdot 1,184 cdot (38,2)^2 cdot 0,1 cdot 0,01pi9,81 approx 0,84 , kg
Substituindo os valores:

Resposta

A massa da esfera deve ser aproximadamente 0,84 kg e sua velocidade terminal é cerca de 38,2 m/s.

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