A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
onde é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a com velocidade máxima de . Calcule a força sobre uma seção de da placa inferior e dê o seu sentido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com escoamento laminar entre placas paralelas, que é um tema de mecânica dos fluidos. Precisamos calcular a força sobre uma área de 1 m² da placa inferior, usando a distribuição de velocidade fornecida. Para isso, vamos precisar entender como calcular o tensão de cisalhamento e depois a força resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força sobre a placa é causada pelo atrito do fluido em movimento. Esse atrito é representado pela tensão de cisalhamento (). A tensão de cisalhamento pode ser calculada usando a fórmula:
onde:
é a viscosidade dinâmica do fluido,
é a derivada da velocidade em relação à posição.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da velocidade em relação a . A distribuição de velocidade dada é:
Primeiro, isolamos :
Agora, derivamos em relação a :
Passo 4
Queremos a derivada no ponto da placa inferior. Como a origem está na linha mediana, a posição da placa inferior é . Substituindo:
Passo 5
Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a . Consultando tabelas, a viscosidade da água a essa temperatura é aproximadamente:
Passo 6
Com e conhecidos, calculamos a tensão de cisalhamento:
Passo 7
Finalmente, a força sobre a área da placa é dada por:
O sentido da força é oposto ao movimento do fluido, ou seja, atua na direção contrária à velocidade do escoamento.
Resposta
A força sobre a seção de 1 m² da placa inferior é de 0,114 N, atuando na direção contrária ao movimento do fluido.