A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
uumax =1-(2 yh)^2
onde h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com escoamento laminar entre placas paralelas, que é um tema de mecânica dos fluidos. Precisamos calcular a força sobre uma área de 1 m² da placa inferior, usando a distribuição de velocidade fornecida. Para isso, vamos precisar entender como calcular o tensão de cisalhamento e depois a força resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força sobre a placa é causada pelo atrito do fluido em movimento. Esse atrito é representado pela tensão de cisalhamento ( tau). A tensão de cisalhamento pode ser calculada usando a fórmula:
tau = mu (dudy)
onde:
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido,
  • dudy é a derivada da velocidade em relação à posição.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da velocidade u em relação a y. A distribuição de velocidade dada é:
uumax = 1 - (2yh)^2
Primeiro, isolamos u:
u = umax (1 - (2yh)^2)
Agora, derivamos u em relação a y:
dudy = umax cdot ddy[1 - (2yh)^2] = umax cdot (-2 cdot 2yh^2) = -4umax yh^2

Passo 4

Queremos a derivada no ponto da placa inferior. Como a origem está na linha mediana, a posição da placa inferior é y = -h2. Substituindo:
dudy|y = -h2 = -4umax (-h2)h^2 = 2umaxh

Passo 5

Agora, precisamos da viscosidade dinâmica da água a 15^circ C. Consultando tabelas, a viscosidade da água a essa temperatura é aproximadamente:
mu = 1,14 times 10^-3 , Pa cdot s

Passo 6

Com mu e dudy conhecidos, calculamos a tensão de cisalhamento:
tau = mu (dudy) = 1,14 times 10^-3 times 2 times 0,050,001 = 1,14 times 10^-3 times 100 = 0,114 , Pa

Passo 7

Finalmente, a força F sobre a área da placa é dada por:
F = tau times A = 0,114 , Pa times 1 , m^2 = 0,114 , N
O sentido da força é oposto ao movimento do fluido, ou seja, atua na direção contrária à velocidade do escoamento.

Resposta

A força sobre a seção de 1 m² da placa inferior é de 0,114 N, atuando na direção contrária ao movimento do fluido.

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