A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por:
onde h é a distância entre as duas placas; a origem é colocada na metade da distância entre elas. Considere a água como o fluido de escoamento com
e
. Calcule a força exercida pelo fluido sobre uma seção de
na placa inferior e forneça o seu sentido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido (água) escoando de forma laminar entre duas placas paralelas, com uma distribuição de velocidade dada pela fórmula:
Aqui,
é a distância entre as placas,
é a velocidade máxima do fluido, e
é a posição vertical entre as placas, com a origem no meio dessa distância. Queremos calcular a força que o fluido exerce sobre uma área de
na placa inferior. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade varia com
e como isso se relaciona com a força exercida pelo fluido.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da velocidade de uma forma mais útil. A velocidade
em função de
é:
Sabemos que precisamos encontrar a força sobre a placa, e para isso, vamos precisar da tensão de cisalhamento (
), que está relacionada à viscosidade (
) do fluido e ao gradiente de velocidade (
):
Como não foi dada a viscosidade da água, vamos assumir que é uma constante conhecida ou que será representada no resultado final.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de velocidade, que é a derivada de
em relação a
:
Essa derivada nos mostra como a velocidade muda com a posição
entre as placas.
Passo 4
Agora, substituímos o gradiente de velocidade na fórmula da tensão de cisalhamento:
Como a força é o produto da tensão de cisalhamento pela área (
):
Mas precisamos considerar que a força total é a integral dessa expressão sobre toda a área da placa.
Passo 5
Integramos a força ao longo da área da placa. Considerando que a distribuição é uniforme e a área é
, a força total será:
Calculando a integral:
Isso indica que, devido à simetria, a força resultante na placa inferior é equilibrada, mas estamos interessados na força de cisalhamento, então devemos considerar apenas o lado positivo.
Passo 6
Reavaliando, a força de cisalhamento na placa inferior é dada por:
Substituindo os valores fornecidos:
Então:
Resposta
A força exercida pelo fluido sobre a área de
na placa inferior é
, dirigida no sentido de movimento do fluido.