A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por:
vvmax =1-(2 yh)^2
onde h é a distância entre as duas placas; a origem é colocada na metade da distância entre elas. Considere a água como o fluido de escoamento com vmax =0,05 m / s e h=5 mm. Calcule a força exercida pelo fluido sobre uma seção de 0,3 m^2 na placa inferior e forneça o seu sentido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fluido (água) escoando de forma laminar entre duas placas paralelas, com uma distribuição de velocidade dada pela fórmula:
vvmax =1-(2 yh)^2
Aqui, é a distância entre as placas, é a velocidade máxima do fluido, e é a posição vertical entre as placas, com a origem no meio dessa distância. Queremos calcular a força que o fluido exerce sobre uma área de na placa inferior. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade varia com e como isso se relaciona com a força exercida pelo fluido.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da velocidade de uma forma mais útil. A velocidade v(y) = vmax [1 - (2 yh)^2] em função de tau = mu dvdy é:
Sabemos que precisamos encontrar a força sobre a placa, e para isso, vamos precisar da tensão de cisalhamento ( ), que está relacionada à viscosidade ( ) do fluido e ao gradiente de velocidade ( ):
Como não foi dada a viscosidade da água, vamos assumir que é uma constante conhecida ou que será representada no resultado final.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de velocidade, que é a derivada de dvdy = ddy [ vmax (1 - (2 yh)^2 ) ] = vmax ( -2 cdot 4 yh^2 ) = -4 vmax yh^2 em relação a :
Essa derivada nos mostra como a velocidade muda com a posição entre as placas.

Passo 4

Agora, substituímos o gradiente de velocidade na fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu ( -4 vmax yh^2 )
Como a força é o produto da tensão de cisalhamento pela área ( F = tau cdot A = mu ( -4 vmax yh^2 ) A ):
Mas precisamos considerar que a força total é a integral dessa expressão sobre toda a área da placa.

Passo 5

Integramos a força ao longo da área da placa. Considerando que a distribuição é uniforme e a área é F = mu cdot 4 vmaxh^2 cdot A cdot ( integral-h/2^h/2 y , dy ) , a força total será:
integral-h/2^h/2 y , dy = [ y^22 ]-h/2^h/2 = (h/2)^22 - (-h/2)^22 = 0
Calculando a integral:
Isso indica que, devido à simetria, a força resultante na placa inferior é equilibrada, mas estamos interessados na força de cisalhamento, então devemos considerar apenas o lado positivo.

Passo 6

Reavaliando, a força de cisalhamento na placa inferior é dada por:
F = mu cdot 4 vmaxh^2 cdot A cdot ( h2 ) = mu cdot 2 vmax Ah
Substituindo os valores fornecidos:
  • F = mu cdot 2 times 0,05 times 0,30,005 = mu cdot 0,030,005 = mu cdot 6 , N
Então:

Resposta

A força exercida pelo fluido sobre a área de na placa inferior é , dirigida no sentido de movimento do fluido.

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