A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
vvmax =1-(2 yh)^2
em que v se refere à velocidade, h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^circ C com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=0,1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m^2 da placa inferior e dê o seu sentido.
Dica: consulte a Tabela A. 7 (Livro texto Fox & McDonald) para verificar a viscosidade da água a 15 ^circ C.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre o escoamento laminar entre placas paralelas, usando uma distribuição de velocidade específica. O conteúdo principal aqui é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente a parte que trata de escoamento laminar e forças de cisalhamento. Para resolver, vamos precisar da fórmula da distribuição de velocidade, da viscosidade da água a 15°C e de alguns conceitos de derivadas para encontrar a força na placa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a distribuição de velocidade dada:
vvmax = 1 - (2yh)^2
Aqui, é a velocidade em uma posição , é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas. Como a origem está no meio, as placas estão em .

Passo 3

Para encontrar a força sobre a placa inferior, precisamos calcular o estresse de cisalhamento ( tau = mu dvdy ), que é dado por:
Onde é a viscosidade da água a 15°C. A dica do exercício menciona a Tabela A.7 do livro Fox & McDonald para encontrar . Vamos supor que (verifique na tabela do seu material).

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da velocidade em relação a v(y) = vmax (1 - (2yh)^2) :
dvdy = vmax (-2 cdot 4yh^2) = -8 vmax yh^2
Derivando em relação a :

Passo 5

Como queremos a força na placa inferior, avaliamos dvdyg|y = -h2 = -8 vmax (-h2)h^2 = 4 vmaxh na posição da placa inferior, que é :

Passo 6

Agora, calculamos o estresse de cisalhamento na placa inferior:
tau = mu cdot 4 vmaxh
Substituindo os valores:
tau = 1,14 times 10^-3 , Pa·s cdot 4 cdot 0,05 , m/s0,0001 , m = 1,14 times 10^-3 cdot 2000 = 2,28 , Pa

Passo 7

Finalmente, para encontrar a força ( F = tau cdot A = 2,28 , Pa cdot 1 , m^2 = 2,28 , N ) sobre uma área de :
O sentido da força é na direção oposta ao movimento da água, ou seja, para cima, já que a água está se movendo para a direita (por exemplo) e a força de cisalhamento atua para resistir a esse movimento.

Resposta

A força sobre uma seção de da placa inferior é de 2,28 N direcionada para cima.

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