A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por
em que se refere à velocidade, é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a com velocidade máxima de e . Calcule a força sobre uma seção de da placa inferior e dê o seu sentido.
Dica: consulte a Tabela A. 7 (Livro texto Fox & McDonald) para verificar a viscosidade da água a 15 .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre o escoamento laminar entre placas paralelas, usando uma distribuição de velocidade específica. O conteúdo principal aqui é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente a parte que trata de escoamento laminar e forças de cisalhamento. Para resolver, vamos precisar da fórmula da distribuição de velocidade, da viscosidade da água a 15°C e de alguns conceitos de derivadas para encontrar a força na placa.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a distribuição de velocidade dada:
Aqui, é a velocidade em uma posição , é a velocidade máxima, e é a distância entre as placas. Como a origem está no meio, as placas estão em .
Passo 3
Para encontrar a força sobre a placa inferior, precisamos calcular o estresse de cisalhamento (), que é dado por:
Onde é a viscosidade da água a 15°C. A dica do exercício menciona a Tabela A.7 do livro Fox & McDonald para encontrar . Vamos supor que (verifique na tabela do seu material).
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da velocidade em relação a :
Derivando em relação a :
Passo 5
Como queremos a força na placa inferior, avaliamos na posição da placa inferior, que é :
Passo 6
Agora, calculamos o estresse de cisalhamento na placa inferior:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a força () sobre uma área de :
O sentido da força é na direção oposta ao movimento da água, ou seja, para cima, já que a água está se movendo para a direita (por exemplo) e a força de cisalhamento atua para resistir a esse movimento.
Resposta
A força sobre uma seção de da placa inferior é de 2,28 N direcionada para cima.