1. (3,0 pontos) Um feixe de laser de comprimento de onda 700 nm passa por uma placa com duas fendas estreitas. As primeiras franjas escuras (as que cercam o máximo central) formam um ângulo de 10^circ com a direção original dos feixes.
    (a) determine a distância entre as fendas;
    (b) Quando o laser passa pelas fendas, a luz é coerente e está em fase, porém para cada ponto da projeção entendemos que o campo elétrico da onda eletromagnética pode ser entendido como a soma dos campos elétricos que passa pelas fendas. Considere que o campo elétrico quando chega na tela que parte de uma das fendas pode ser escrito como E1(t)=E0 cos (omega t) e o campo elétrico oriundo da outra fenda tem uma fase em relação ao primeiro E1(t)=E0 cos (omega t+phi). Mostre que esta fase pode ser escrita na forma:
phi=2 pilambda(r1-r2)
onde r1-r2 é a diferença entre os deslocamentos das ondas que passaram pelas duas fendas. Explique em detalhes!
© Determine a intensidade em função de phi e da intensidadeł̧máxima;
(d) qual o menor ângulo, relativo à direção original para observarmos intensidade igual a 1 / 4 da intensidade máxima sobre a tela?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de interferência de ondas de luz com duas fendas. O problema envolve ondas de laser com comprimento de onda de 700 nm passando por uma placa com duas fendas. Precisamos usar conceitos de interferência construtiva e destrutiva, além de entender como a distância entre as fendas afeta os padrões de interferência.

Passo 2

Parte a) Para determinar a distância entre as fendas, vamos usar a condição para as primeiras franjas escuras na interferência de duas fendas. A fórmula para o ângulo das franjas escuras é:
sin theta = (m + 12) lambdad
Onde:
  • d = (m + 12) lambdasin theta é o ângulo das primeiras franjas escuras,
  • d = (0 + 12) times 700 times 10^-9 , msin 10^circ é o comprimento de onda,
  • sin 10^circ approx 0,1736 para a primeira franja escura,
  • d = 0,5 times 700 times 10^-9 , m0,1736 approx 350 times 10^-9 , m0,1736 approx 2,016 times 10^-6 , m é a distância entre as fendas que queremos encontrar.
Rearranjando a fórmula para encontrar d approx 2,02 , mu m :
Substituindo os valores:
Calculando:

Passo 3

Parte b) Vamos mostrar que a diferença de fase phi = 2 pilambda (r1 - r2) pode ser expressa como:
E(t) = E1(t) + E2(t) = E0 cos(omega t) + E0 cos(omega t + phi)
O campo elétrico resultante na tela é a soma dos campos elétricos das duas fendas:
phi = 2pilambda De
Aqui, phi = 2pilambda (r1 - r2) e são os caminhos percorridos pelas ondas provenientes de cada fenda até um ponto na tela. A diferença de caminho resulta em uma diferença de fase .
Sabemos que a fase de uma onda é relacionada ao deslocamento por:
Portanto, substituindo :

Passo 4

Parte c) A intensidade resultante das ondas interferentes é dada por:
I = Imáx cos^2 ( phi2 ) á
Onde:
  • á é a intensidade máxima,
  • é a diferença de fase entre as duas ondas.
Isso mostra como a intensidade varia em função da diferença de fase .

Passo 5

Parte d) Queremos encontrar o menor ângulo 14 Imáx = Imáx cos^2 ( phi2 ) onde a intensidade é 14 = cos^2 ( phi2 ) da intensidade máxima. Usando a fórmula da intensidade:
12 = cos ( phi2 ) áá
Dividindo ambos os lados por phi2 = pi3 implies phi = 2pi3 á:
phi = 2pilambda d sin theta = 2pi3
Tirando a raiz quadrada:
sin theta = lambda3 d
Então:
sin theta = 700 times 10^-93 times 2,02 times 10^-6 approx 700 times 10^-96,06 times 10^-6 approx 0,1154
Usando a relação da diferença de fase:
theta approx arcsin(0,1154) approx 6,63^circ
Isolando :
Substituindo e :
Finalmente, calculando :

Resposta

(a) A distância entre as fendas é aproximadamente .

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