Um distribuidor de sementes diz que 95 % de suas sementes germinam (p=0.95). Uma cooperativa que fornece mudas e sementes aos agricultores, antes de comprar um lote de sementes do distribuidor, faz o seguinte teste: toma uma amostra de n sementes e as semeia. Se a proporção de germinação for menor que 0.93 ele recusa o lote. Esse procedimento se encaixa na metodologia de testes de hipóteses, no qual existe a probabilidade da cooperativa recusar um lote bom equivocadamente, assim como, comprar um lote ruim, por engano.
b. Para o n igual ao valor obtido em a), se o poder germinativo real das sementes for 0.92 , qual a probabilidade do erro tipo 2(beta) ?

Passo 1

Resumo do Problema e Conteúdo Envolvido
Estamos lidando com um teste de hipóteses, uma ferramenta estatística que ajuda a tomar decisões com base em dados amostrais. O distribuidor de sementes afirma que 95% das suas sementes germinam ( ). A cooperativa faz um teste pegando uma amostra de sementes e, se menos de 93% germinarem, ela recusa o lote.
Queremos calcular a probabilidade de erro tipo II ( ), que é a probabilidade da cooperativa não recusar um lote que, na verdade, tem uma taxa de germinação real de 92% ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Distribuição da proporção amostral: como as proporções de germinação se comportam.
  • Erro tipo II ( ): a chance de não detectar que o lote é ruim.
  • Cálculo de probabilidades usando a distribuição normal: uma aproximação comum para facilitar os cálculos.

Passo 2

Definindo as Hipóteses
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses envolvidas no teste:
  • Hipótese Nula ( ): (o lote é bom).
  • Hipótese Alternativa ( ): (o lote é ruim).
A cooperativa rejeita se a proporção de germinação na amostra for menor que 0.93.

Passo 3

Entendendo o Erro Tipo II ( )
O erro tipo II ocorre quando não rejeitamos a hipótese nula ( ) mesmo quando a hipótese alternativa ( ) é verdadeira. Neste caso, significa que a cooperativa não rejeita um lote que realmente tem uma taxa de germinação de 0.92.
Nossa meta é encontrar ã.

Passo 4

Distribuição da Proporção Amostral
Quando pegamos uma amostra de sementes, a proporção de germinação na amostra ( ) segue uma distribuição aproximadamente normal, especialmente se for grande, devido ao Teorema Central do Limite.
A média da distribuição é e o desvio padrão é .
Aqui, (a verdadeira taxa de germinação).

Passo 5

Calculando o Valor Crítico
Para não rejeitarmos z = p - musigma = 0.93 - 0.92raiz0.92 times 0.08n , a proporção amostral deve ser maior ou igual a 0.93.
Vamos encontrar o valor crítico correspondente a .
Primeiro, calculamos o z-score, que nos diz quantos desvios padrão está distante da média :

Passo 6

Calculando a Probabilidade beta = P(p >= 0.93 | p = 0.92) = P(z >= 0.93 - 0.92raiz0.92 times 0.08n)
A probabilidade de erro tipo II é a probabilidade de não rejeitarmos quando . Isso corresponde a .
Usando o z-score calculado:
Isso pode ser encontrado usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística.

Resposta

A probabilidade de erro tipo II ( beta = P(z >= 0.93 - 0.92raiz0.92 times 0.08n) ) quando a taxa real de germinação é 0.92 é dada por:
Para encontrar o valor numérico de , substitua pelo tamanho da amostra obtido na parte a) do exercício e calcule o z-score correspondente. Em seguida, utilize a tabela da distribuição normal padrão para determinar a probabilidade.

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