Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
a) Uma peça defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cenário de uma linha de produção onde a chance de sair uma peça defeituosa é de 10%. A gente vai pegar uma amostra de 10 peças para inspecionar, cada uma independentemente das outras. A pergunta é: qual a probabilidade de encontrar uma peça defeituosa nessa amostra? Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: sucesso ou falha. No nosso caso, cada peça pode ser defeituosa (sucesso) ou não defeituosa (falha). A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente sucessos.
  • é a combinação de elementos tomados a .
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • (número de peças inspecionadas)
  • (queremos exatamente uma peça defeituosa)
  • (probabilidade de uma peça ser defeituosa)

Passo 4

Agora, vamos calcular a combinação C(10, 1) = 10!1! times (10 - 1)! = 10 , que representa o número de maneiras de escolher 1 peça defeituosa entre 10:

Passo 5

Em seguida, substituímos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(1) = 10 times (0,10)^1 times (1 - 0,10)^10 - 1

Passo 6

Vamos calcular cada parte da equação:

Passo 7

Multiplicando tudo:
P(1) = 10 times 0,10 times 0,387420489 approx 10 times 0,0387420489 approx 0,387420489

Resposta

A probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa na amostra de 10 peças é de aproximadamente 38,74%.

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