Suponha que, em certa região, a média geral de sacas de soja produzidas por hectare seja 80 unidades. Uma pesquisa de melhoramento desenvolveu uma nova cultivar, agora testada em campo nesta mesma região. Uma amostra aleatória de 16 parcelas, de 1 hectare cada, dessa cultura, resultou nas seguintes produções (ignore o número entre []):
a) Analise os resultados da amostra e conclua sobre as evidências de melhoramento desta cultivar com relação a produção por hectare. Use alpha=0.05 para concluir se há evidência significante de melhora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar a média de produção de sacas de soja por hectare de uma nova cultivar com a média geral da região, que é de 80 sacas. Estamos falando de estatística, mais especificamente de um teste de hipóteses para a média. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da nossa amostra, o desvio padrão, e usar esses valores para verificar se a nova cultivar realmente melhora a produção com um nível de confiança de 95% (já que α=0.05).

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese nula (H₀): A média de produção da nova cultivar é igual à média geral da região. Matemáticamente, H₀: μ = 80.
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de produção da nova cultivar é maior que a média geral da região. Ou seja, H₁: μ > 80.
Aqui, estamos usando um teste unilateral porque queremos saber se a nova cultivar aumenta a produção.

Passo 3

Agora, precisamos escolher o teste estatístico adequado. Como estamos comparando a média de uma amostra com a média conhecida da população e o desvio padrão da população não é conhecido, vamos usar o teste t de Student.
A fórmula do teste t é:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • barx é a média da amostra
  • mu0 é a média da população (80 sacas)
  • s é o desvio padrão da amostra
  • n é o tamanho da amostra

Passo 4

Vamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão ( s) da nossa amostra de 16 parcelas. Supondo que já temos esses valores calculados, vamos inserir na fórmula do teste t.
Exemplo:
  • Suponha que a média da amostra seja 85 sacas ( barx = 85)
  • E o desvio padrão seja 10 sacas ( s = 10)
  • O tamanho da amostra é 16 ( n = 16)
Então,
t = 85 - 8010 / raiz16 = 52.5 = 2

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico de t para nosso teste. Como o nível de significância α=0.05 e nosso teste é unilateral, vamos procurar na tabela t o valor correspondente a 15 graus de liberdade (n-1 = 16-1 = 15).
Digamos que o valor crítico de t para α=0.05 e 15 graus de liberdade seja aproximadamente 1.753 (esse valor pode variar ligeiramente dependendo da tabela).

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
  • Se t > tcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se t <= tcríticoí, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso exemplo, t = 2 e tcrítico = 1.753í.
Como 2 > 1.753, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, há evidências significantes de que a nova cultivar de soja aumenta a produção por hectare em relação à média geral da região, com um nível de confiança de 95%.

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