Divida o polinômio pelo polnômio , e encontre os polinômios e onde .
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de divisão de polinômios! A gente tem que dividir o polinômio pelo polinômio divisor . O objetivo é encontrar dois polinômios: o quociente e o resto , de forma que . Para isso, vamos usar a técnica da divisão polinomial, que é semelhante à divisão numérica que a gente faz na escola, mas aplicada a polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos dos polinômios em ordem decrescente dos expoentes e verificar se todos os termos estão presentes. Nosso polinômio dividendo já está assim: . O divisor também está ordenado: .

Passo 3

Agora, vamos iniciar a divisão. A ideia é encontrar qual termo multiplicado pelo divisor nos dá o primeiro termo do dividendo. Olha só:
  • Primeiro termo do dividendo:
  • Primeiro termo do divisor:
Pergunta: “O quanto multiplicamos para obter ?” A resposta é , porque . Então, vai ser o primeiro termo do quociente .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar todo o divisor pelo termo que encontramos :
Esse resultado subtraímos do dividendo:

Passo 5

Agora, repetimos o processo com o novo dividendo que ficou: .
Primeiro termo do novo dividendo:
Pergunta: “Quanto multiplicamos para obter ?” A resposta é , porque . Então, é o próximo termo do quociente .

Passo 6

Multiplicamos o divisor por :
Subtraímos esse resultado do dividendo atual:

Passo 7

Agora, o novo dividendo é . Observamos que o grau desse polinômio (grau 1) é menor que o grau do divisor (grau 2). Isso significa que não podemos continuar a divisão, e esse polinômio é o nosso resto .

Resposta

Então, o quociente da divisão é e o resto é . Portanto, temos:

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