Diz-se que uma matriz
é semelhante à matriz
quando existe uma matriz invertível
tal que
.
(a) Mostre que se
é uma matriz semelhante a
e
é semelhante a
, então
é semelhante a
.
(b) * Prove que as matrizes semelhantes tem mesmo determinante.
(a) Mostre que se
(b) * Prove que as matrizes semelhantes tem mesmo determinante.
Passo 1
Vamos lá! A gente quer provar que se duas matrizes são semelhantes, elas têm o mesmo determinante. Primeiro, o que é matriz semelhante? É quando existe uma matriz invertível
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar entender como o determinante se comporta com produtos de matrizes e inversas.
Passo 2
Sabemos que o determinante de uma matriz produto é igual ao produto dos determinantes. Então, se temos
, podemos calcular o determinante de
assim:
Passo 3
Usando a propriedade do determinante que mencionei, a gente pode separar isso em:
Passo 4
Agora, lembre que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja,
. Substituindo isso na equação:
Resposta
Portanto, as matrizes semelhantes
e
têm o mesmo determinante.