Diz-se que uma matriz A é semelhante à matriz B quando existe uma matriz invertível P tal que B=P A P^-1.
(a) Mostre que se A é uma matriz semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.
(b) * Prove que as matrizes semelhantes tem mesmo determinante.

Passo 1

Vamos lá! A gente quer provar que se duas matrizes são semelhantes, elas têm o mesmo determinante. Primeiro, o que é matriz semelhante? É quando existe uma matriz invertível tal que . Para resolver isso, vamos precisar entender como o determinante se comporta com produtos de matrizes e inversas.

Passo 2

Sabemos que o determinante de uma matriz produto é igual ao produto dos determinantes. Então, se temos det(B) = det(P A P^-1) , podemos calcular o determinante de assim:

Passo 3

Usando a propriedade do determinante que mencionei, a gente pode separar isso em:
det(B) = det(P) cdot det(A) cdot det(P^-1)

Passo 4

Agora, lembre que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja, det(B) = det(P) cdot det(A) cdot 1det(P) = det(A) . Substituindo isso na equação:

Resposta

Portanto, as matrizes semelhantes e têm o mesmo determinante.

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