Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se uma certa função é uma transformação linear. Estamos lidando com funções que levam vetores de um espaço vetorial para outro, no caso, de para . Para resolver isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se a função dada atende aos requisitos dessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Se a função satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função dada:
T(x, y) = (x + y, x - y)
Vamos verificar as duas propriedades:
Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) .
Primeiro, somamos os vetores:
= (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 - y1 - y2)
Aplicando T(u) = T(x1, y1) = (x1 + y1, x1 - y1) a essa soma:
T(v) = T(x2, y2) = (x2 + y2, x2 - y2)
T(u) + T(v) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2)
Agora, aplicamos = (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 - y1 - y2) individualmente aos vetores e depois somamos:
T(u + v) = T(u) + T(v)
cu = (c x, c y)
T(cu) = T(c x, c y) = (c x + c y, c x - c y)
= c(x + y, x - y)
Percebemos que:
= c T(x, y)
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Vamos pegar um vetor qualquer = c T(u) e um escalar T(cu) = c T(u) .
Primeiro, multiplicamos o vetor pelo escalar:
Aplicando a esse produto:
Então, também temos que:
Portanto, a propriedade da homogeneidade é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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