Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a)
definida por
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se uma certa função é uma transformação linear. Estamos lidando com funções que levam vetores de um espaço vetorial para outro, no caso, de
para
. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se a função dada atende aos requisitos dessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Se a função satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função dada:
Vamos verificar as duas propriedades:
Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
.
Primeiro, somamos os vetores:
Aplicando
a essa soma:
Agora, aplicamos
individualmente aos vetores e depois somamos:
Percebemos que:
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Vamos pegar um vetor qualquer
e um escalar
.
Primeiro, multiplicamos o vetor pelo escalar:
Aplicando
a esse produto:
Então, também temos que:
Portanto, a propriedade da homogeneidade é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.