Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se uma certa função é uma transformação linear. Estamos lidando com funções que levam vetores de um espaço vetorial para outro, no caso, de para . Para resolver isso, precisamos entender o que é uma transformação linear e verificar se a função dada atende aos requisitos dessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma função é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Se a função satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função dada:
Vamos verificar as duas propriedades:
Aditividade:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e .
Primeiro, somamos os vetores:
Aplicando a essa soma:
Agora, aplicamos individualmente aos vetores e depois somamos:
Percebemos que:
Então, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Homogeneidade:
Vamos pegar um vetor qualquer e um escalar .
Primeiro, multiplicamos o vetor pelo escalar:
Aplicando a esse produto:
Então, também temos que:
Portanto, a propriedade da homogeneidade é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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(b) * Prove que as matrizes semelhantes tem mesmo determinante.