Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, identifique uma matriz diagonal D e uma matriz mudanca de base P tais que A=P D P^-1
[rrr 1 & 0 & 0 -2 & 3 & -1 0 & -4 & 3 ]
Ver resolução

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: uma diagonal e uma de mudança de base , de jeito que . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz, que são ferramentas da álgebra linear usadas para diagonalizar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & 3 - lambda & -1 0 & -4 & 3 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 3 - lambda & -1 -4 & 3 - lambda são os autovalores e det 3 - lambda & -1 -4 & 3 - lambda = (3 - lambda)^2 - (-1)(-4) = (3 - lambda)^2 - 4 é a matriz identidade. Vamos montar a matriz (1 - lambda)((3 - lambda)^2 - 4) = 0 :
(1 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 5) = 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
lambda1 = 1, lambda2 = 5, lambda3 = 1
Calculando o determinante da matriz menor:
Então, a equa��ão característica fica:
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá os autovalores:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para 0 & 0 & 0 -2 & 2 & -1 0 & -4 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Substituímos na equação -2v1 + 2v2 - v3 = 0 -4v2 + 2v3 = 0 :

[
-2v1 + 2v2 - 2v2 = -2v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
v = 0 v2 2v2 = v2 0 1 2

v1 = 0 1 2
]
Resolvendo, obtemos as relações:
-4 & 0 & 0 -2 & -2 & -1 0 & -4 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Da segunda equação, temos -4v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 -2v2 - v3 = 0 Rightarrow v3 = -2v2 -4v2 - 2v3 = 0 . Substituindo na primeira:
-4v2 - 2(-2v2) = -4v2 + 4v2 = 0
Então, os autovetores para v = 0 v2 -2v2 = v2 0 1 -2 são da forma:
v2 = 0 1 -2
Escolhendo , temos um autovetor:
Para :
Substituímos na equação :

[


]
Resolvendo, obtemos as relações:
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores para são da forma:
Escolhendo , temos outro autovetor:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para diagonalizar v1 = 0 1 2 , v2 = 0 1 -2 . Observamos que temos dois autovalores distintos ( com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1) e dois autovetores diferentes:
Como temos dois autovetores e duas dimensões para o espaço dos autovalores, a matriz é diagonalizável.

Passo 5

Agora, vamos construir as matrizes P = 0 & 0 1 & 1 2 & -2 e D = 1 & 0 0 & 5 :
  • A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
  • A matriz diagonal contém os autovalores correspondentes na diagonal:

Resposta

Sim, a matriz P = 0 & 0 1 & 1 2 & -2 , D = 1 & 0 0 & 5 é diagonalizável. As matrizes e são dadas por:
E satisfazem .

Exercícios relacionados