Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, identifique uma matriz diagonal e uma matriz mudanca de base tais que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: uma diagonal e uma de mudança de base , de jeito que . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz, que são ferramentas da álgebra linear usadas para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por:
Onde são os autovalores e é a matriz identidade. Vamos montar a matriz :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Calculando o determinante da matriz menor:
Então, a equa��ão característica fica:
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para :
Substituímos na equação :
[
]
Resolvendo, obtemos as relações:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira:
Então, os autovetores para são da forma:
Escolhendo , temos um autovetor:
Para :
Substituímos na equação :
[
]
Resolvendo, obtemos as relações:
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores para são da forma:
Escolhendo , temos outro autovetor:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para diagonalizar . Observamos que temos dois autovalores distintos ( com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1) e dois autovetores diferentes:
Como temos dois autovetores e duas dimensões para o espaço dos autovalores, a matriz é diagonalizável.
Passo 5
Agora, vamos construir as matrizes e :
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz diagonal contém os autovalores correspondentes na diagonal:
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável. As matrizes e são dadas por: