Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, identifique uma matriz diagonal e uma matriz mudanca de base tais que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar duas matrizes: uma diagonal e uma de mudança de base , de jeito que . Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz, que são ferramentas da álgebra linear usadas para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Isso envolve resolver a equação característica, que é dada por:
Da segunda equação, temos -4v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 -2v2 - v3 = 0 Rightarrow v3 = -2v2 -4v2 - 2v3 = 0 . Substituindo na primeira:
-4v2 - 2(-2v2) = -4v2 + 4v2 = 0
Então, os autovetores para v = 0 v2 -2v2 = v2 0 1 -2 são da forma:
v2 = 0 1 -2
Escolhendo , temos um autovetor:
Para :
Substituímos na equação :
[
]
Resolvendo, obtemos as relações:
Substituindo na terceira equação:
Então, os autovetores para são da forma:
Escolhendo , temos outro autovetor:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se temos um conjunto completo de autovetores linearmente independentes para diagonalizar v1 = 0 1 2 , v2 = 0 1 -2 . Observamos que temos dois autovalores distintos ( com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1) e dois autovetores diferentes:
Como temos dois autovetores e duas dimensões para o espaço dos autovalores, a matriz é diagonalizável.
Passo 5
Agora, vamos construir as matrizes P = 0 & 0 1 & 1 2 & -2 e D = 1 & 0 0 & 5 :
A matriz é formada pelos autovetores como colunas:
A matriz diagonal contém os autovalores correspondentes na diagonal:
Resposta
Sim, a matriz P = 0 & 0 1 & 1 2 & -2 , D = 1 & 0 0 & 5 é diagonalizável. As matrizes e são dadas por: