Dizemos que uma sequência converge a se lim→∞ = . Uma das formas de analisar a convergência da sequência é com o auxílio do teorema do confronto. Considere a sequência formada pelo termo geral = √√+1 ², e, utilizando o teorema do confronto, com = 1 ² e = +1 ², calcule o limite dessa sequência.
A 4.
B 3.
C 2.
D 1.
E 0.
A 4.
B 3.
C 2.
D 1.
E 0.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o limite da sequência definida pelo termo geral $ a_n = \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2} $. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto, que é uma ferramenta bacana para analisar limites de sequências quando a gente consegue “apalpar” a sequência entre duas outras que já conhecemos o limite. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como simplificar expressões envolvendo raízes e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral $ a_n $. Temos:
Lembrando que $ (\sqrt{n+1})^2 = n + 1 $, então:
Agora, nossa sequência está mais simples: $ a_n = \frac{\sqrt{n}}{n + 1} $.
Passo 3
Vamos analisar o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito. Para isso, podemos dividir numerador e denominador por $ \sqrt{n} $ para facilitar a visualização:
À medida que $ n $ cresce, $ \sqrt{n} $ também cresce sem limite, e $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ tende a zero. Portanto:
Passo 4
Mas peraí! O exercício pede para usarmos o Teorema do Confronto. Então, vamos identificar duas sequências que sejam menores e maiores que $ a_n $ e que tenham o mesmo limite.
Observamos que:
Sabemos que:
Pelo Teorema do Confronto, se uma sequência está entre duas sequências que possuem o mesmo limite, então ela também converge para esse limite.
Resposta
E) 0.