Seja X: Omega 0,1,2, ldots, n, ldots uma v.a.d com f.p p(x)=e^-a a^xa!. Se Y=H(X)=2 X+2. Calcular P[Y<5] e P[Y>4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória que pode assumir valores inteiros não negativos (0, 1, 2, …). A função de probabilidade dela é dada por , que é a fórmula da distribuição de Poisson. Nosso objetivo é encontrar as probabilidades de ser menor que 5 ( ) e maior que 4 ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a variável em e aplicar as propriedades da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar 2X + 2 < 5 em termos de : . Queremos encontrar . Então, vamos resolver a desigualdade:

Passo 3

Vamos isolar 2X < 5 - 2 2X < 3 X < 32 na desigualdade:
Como só pode assumir valores inteiros (0, 1, 2, …), isso significa que pode ser 0 ou 1.

Passo 4

Agora, calculamos P[Y < 5] = P(X = 0) + P(X = 1) somando as probabilidades de P(X = k) = e^-a a^kk! e P(Y < 5) = e^-a a^00! + e^-a a^11! = e^-a + a e^-a = e^-a(1 + a) :
Usando a fórmula da distribuição de Poisson:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular 2X + 2 > 4 2X > 4 - 2 2X > 2 X > 1 . Observando que , queremos:
Então, pode ser 2, 3, 4, …

Passo 6

Para encontrar P(Y > 4) = P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) , somamos as probabilidades de P(Y > 4) = 1 - e^-a(1 + a) :
Já calculamos , então:

Resposta

As probabilidades solicitadas são:
P[Y < 5] = e^-a(1 + a)
P[Y > 4] = 1 - e^-a(1 + a)

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