Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Quantas arestas esse poliedro possui?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um dodecaedro convexo, que tem todas as suas faces como pentágonos. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas arestas (ou bordas) esse poliedro possui. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria dos poliedros, como vértices, arestas e faces, e aplicar a famosa fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um dodecaedro convexo. Ele é um sólido geométrico que tem 12 faces, e cada uma dessas faces é um pentágono. Ou seja, temos 12 pentágonos formando essa figura.

Passo 3

Agora, precisamos conhecer a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é:
V - E + F = 2
Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.

Passo 4

Sabemos que $ F = 12 $ porque temos 12 faces pentagonais. Nosso objetivo é encontrar $ E $, o número de arestas. Para isso, precisamos descobrir o número de vértices $ V $.

Passo 5

Como cada face é um pentágono, cada face tem 5 arestas. Mas, cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, o número total de arestas $ E $ pode ser calculado multiplicando o número de faces pelo número de arestas por face e dividindo por 2:
E

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula de Euler:
V - E + F = 2
Substituindo os valores que temos:
V - 30 + 12 = 2
V - 18 = 2
V = 20

Passo 7

Mas nosso foco é o número de arestas $ E $, que já calculamos como 30.

Resposta

O dodecaedro convexo possui 30 arestas.

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