Dois alto-falantes pequenos A e B, afastados um do outro por 1,40 m, estão enviando som com comprimento de onda de 34 cm em todas as direções e todos em fase. Uma pessoa no ponto P parte equidistante dos dois alto-falantes e caminha de modo que esteja sempre a 1,50 m do alto-falante B. Para quais valores de x o som que essa pessoa escuta será destrutivo? Limite sua solução aos casos onde x <= 1,50 m.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos dois alto-falantes, A e B, separados por 1,40 metros. Eles estão emitindo som com um comprimento de onda de 34 cm (ou seja, 0,34 metros) e todos estão em fase, o que significa que eles começam a vibrar ao mesmo tempo. Uma pessoa está no ponto P, que está exatamente no meio entre A e B, e ela começa a caminhar de modo que sempre está a 1,50 metros de B. Queremos descobrir para quais valores de x (distância que ela anda em direção a A) o som que ela ouve será destrutivo, ou seja, quando as ondas sonoras de A e B se anulam. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa interferência destrutiva. Isso acontece quando as ondas sonoras de A e B chegam ao mesmo ponto com um deslocamento de fase de meio comprimento de onda, fazendo com que se cancelem. Matemáticamente, isso acontece quando a diferença de caminho entre as ondas é igual a um múltiplo ímpar de meio comprimento de onda:
De
onde $ n $ é um inteiro (0, 1, 2, …) e $ \lambda $ é o comprimento de onda.

Passo 3

Sabemos que a pessoa está sempre a 1,50 metros de B. Vamos chamar a distância de A para a pessoa de $ d_A $. Como A e B estão separados por 1,40 metros, podemos relacionar $ d_A $ e a posição x da pessoa:
dA
onde $ x $ é a distância que a pessoa caminhou em direção a A a partir do ponto P.

Passo 4

A diferença de caminho $ \Delta L $ entre as ondas de A e B é:
De
Como $ d_B = 1,50,m $, temos:
De
Como estamos interessados em $ x \leq 1,50,m $, podemos tirar o valor absoluto:
dB = 1,50,m

Passo 5

Agora, aplicando a condição para interferência destrutiva:
x + 0,10,m = (2n + 1) 0,34,m2
Simplificando:
x + 0,10,m = (2n + 1) times 0,17,m

Passo 6

Vamos resolver para $ x $:
x
Agora, precisamos encontrar os valores de $ n $ que satisfazem $ x \leq 1,50,m $.

Passo 7

Vamos testar valores de $ n $ começando de 0 até encontrar o limite:
Para $ n = 0 $:
n
Para $ n = 1 $:
n = 0
Para $ n = 2 $:
x = (2 times 0 + 1) times 0,17,m - 0,10,m = 0,17,m - 0,10,m = 0,07,m
Para $ n = 3 $:
n = 1
Para $ n = 4 $:
x = (2 times 1 + 1) times 0,17,m - 0,10,m = 0,51,m - 0,10,m = 0,41,m
Se tentarmos $ n = 5 $:
n = 2
Mas $ 1,77,m > 1,50,m $, então não consideramos.

Resposta

Os valores de $ x $ para os quais o som será destrutivo são:
x

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