Dois alto-falantes pequenos A e B, afastados um do outro por
, estão enviando som com comprimento de onda de 34 cm em todas as direções e todos em fase. Uma pessoa no ponto
parte equidistante dos dois alto-falantes e caminha de modo que esteja sempre a
do alto-falante B. Para quais valores de x o som que essa pessoa escuta será construtivo? Limite sua solução aos casos onde
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois alto-falantes, A e B, separados por 1,40 metros, que emitem ondas sonoras com comprimento de onda de 34 centímetros, todas em fase. Uma pessoa no ponto P começa equidistante dos dois alto-falantes e anda de tal forma que sempre está a 1,50 metros do alto-falante B. A pergunta é: para quais valores de $ x $ o som que essa pessoa ouve será construtivo? Vamos resolver isso usando o conceito de interferência construtiva de ondas sonoras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é interferência construtiva. Quando duas ondas sonoras se encontram, elas podem somar suas amplitudes. Se as cristas de uma onda coincidem com as cristas da outra, elas se somam e o som fica mais forte, isso é interferência construtiva. Matemáticamente, isso acontece quando o caminho percorrido pelas ondas tem um desvio igual a múltiplos inteiros do comprimento de onda.
Passo 3
Vamos definir as variáveis. Seja $ d = 1,40 , m $ a distância entre os alto-falantes A e B. O comprimento de onda $ \lambda = 34 , cm = 0,34 , m $. A pessoa caminha de modo que está sempre a $ 1,50 , m $ de B, e queremos encontrar $ x $ (a distância da pessoa a A) tal que $ x \leq 1,50 , m $.
Passo 4
Como a pessoa está sempre a 1,50 m de B, podemos chamar a distância de A até a pessoa de $ x $. A diferença de caminho que importa para a interferência é $ \Delta = |x - 1,50| $. Para interferência construtiva, essa diferença deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
onde $ n $ é um número inteiro (0, 1, 2, …).
Passo 5
Substituindo $ \lambda = 0,34 , m $, temos:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ dentro do limite dado ($ x \leq 1,50 , m $).
Passo 6
Vamos considerar $ x \leq 1,50 , m $, então:
Isolando $ x $:
Agora, precisamos encontrar os valores inteiros de $ n $ que tornam $ x $ positivo e menor ou igual a 1,50 m.
Passo 7
Vamos testar valores de $ n $:
- Para $ n = 0 $:
- Para $ n = 1 $:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
- Para $ n = 4 $:
- Para $ n = 5 $:
Como $ x $ não pode ser negativa, o valor máximo de $ n $ é 4.
Passo 8
Portanto, os valores de $ x $ que satisfazem a condição de interferência construtiva e estão dentro do limite $ x \leq 1,50 , m $ são:
Resposta
Os valores de $ x $ para os quais a pessoa ouve som construtivo são: