Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O alívio obtido pela ingestão do primeiro analgésico é dado por A1(t) = -4t^2 + 8t e o do segundo, por A2(t) = -1.8 t^3 + 5.4 t, sendo to número de horas após o medicamento ser tomado.
A que horas o primeiro analgésico proporcionará um alívio máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois analgésicos com fórmulas que mostram o alívio que eles proporcionam ao longo do tempo, medido em horas. A gente precisa descobrir em que horário o primeiro analgésico (A₁(t) = -4 t² + 8 t) atinge o máximo de alívio. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o alívio é máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ponto máximo de uma função, a gente precisa calcular a sua derivada. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação ao tempo. Quando a derivada é zero, significa que a função está no ponto em que muda de crescente para decrescente, ou seja, no ponto máximo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função do alívio do primeiro analgésico. A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de que faz a derivada igual a zero:
Resolvendo para :

Resposta

O primeiro analgésico proporcionará um alívio máximo após 1 hora de sua ingestão.

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