Dois blocos de massas m1 e m2(m1>m2), inicialmente em repouso e na mesma altura, estão acoplados a um bloco de massa m3 através de fios inextensíveis e que passam por um conjunto de roldanas, conforme mostrado na Figura 6. A roldana tem massa desprezível e gira sem atrito em torno do seu eixo. Calcule a aceleração dos blocos e a tensão nos fios.
Figura 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois blocos com massas e (sendo ) que estão acoplados a um terceiro bloco com massa através de fios que passam por uma roldana sem atrito e sem massa. Todos estão inicialmente em repouso e na mesma altura. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração dos blocos e qual a tensão nos fios.
Vamos usar as Leis de Newton para resolver esse problema, especialmente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração ( ). Também vamos precisar entender como as tensões nos fios se comportam nesse sistema com a roldana.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada bloco.
  • No bloco , temos a força peso para baixo e a tensão no fio puxando para cima.
  • No bloco , temos a força peso para baixo e a tensão no fio puxando para cima.
  • No bloco , temos a força peso para baixo e a tensão no fio puxando para cima.
Como a roldana é sem atrito e sem massa, a tensão é a mesma em todos os fios.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton em cada bloco. A aceleração dos blocos será a mesma, já que estão interligados pelos fios inextensíveis.
Para o bloco P1 - T = m1 cdot a :
m1 cdot g - T = m1 cdot a
P2 - T = m2 cdot a
Para o bloco m2 cdot g - T = m2 cdot a :
T - P3 = m3 cdot a
T - m3 cdot g = m3 cdot a
Para o bloco :

Passo 4

Temos agora um sistema de três equações:
  1. (m1 cdot g - T) + (m2 cdot g - T) = m1 cdot a + m2 cdot a
  2. (m1 + m2) cdot g - 2T = (m1 + m2) cdot a
  3. T = m3 cdot g + m3 cdot a
Vamos resolver esse sistema para encontrar (m1 + m2) cdot g - 2(m3 cdot g + m3 cdot a) = (m1 + m2) cdot a e (m1 + m2) cdot g - 2m3 cdot g - 2m3 cdot a = (m1 + m2) cdot a .
Primeiro, somamos as duas primeiras equações:
Agora, da terceira equação, isolamos :
Substituímos na equação somada:

Passo 5

Vamos organizar a equação para isolar (m1 + m2) cdot g - 2m3 cdot g = (m1 + m2) cdot a + 2m3 cdot a :
(m1 + m2 - 2m3) cdot g = (m1 + m2 + 2m3) cdot a
a = (m1 + m2 - 2m3) cdot gm1 + m2 + 2m3
Agora, isolamos :

Passo 6

Com a aceleração T = m3 cdot g + m3 cdot a encontrada, podemos substituir esse valor na expressão que encontramos para a tensão T = m3 cdot g + m3 cdot ( (m1 + m2 - 2m3) cdot gm1 + m2 + 2m3 ) :
T = m3 cdot g ( 1 + m1 + m2 - 2m3m1 + m2 + 2m3 )
T = m3 cdot g ( m1 + m2 + 2m3 + m1 + m2 - 2m3m1 + m2 + 2m3 )
T = m3 cdot g ( 2(m1 + m2)m1 + m2 + 2m3 )
T = 2m3(m1 + m2)gm1 + m2 + 2m3

Resposta

Então, a aceleração dos blocos é:
a = (m1 + m2 - 2m3) cdot gm1 + m2 + 2m3
E a tensão nos fios é:
T = 2m3(m1 + m2) cdot gm1 + m2 + 2m3

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