Um pêndulo simples é composto por uma partícula de massa m presa a um fio ideal de comprimento l que inicialmente faz um ângulo theta com a vertical, conforme Figura 10. Use o princípio de conservação de energia para obter a velocidade no ponto mais baixo da trajetória (B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pêndulo simples, que é um peso pendurado por um fio de comprimento que faz um ângulo com a vertical. A ideia é usar o princípio da conservação de energia para descobrir qual a velocidade desse peso quando ele chega no ponto mais baixo da trajetória, que vamos chamar de ponto B. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um sistema conservativo (sem atrito, por exemplo) permanece constante. Isso significa que a soma da energia potencial (energia armazenada) e da energia cinética (energia de movimento) no ponto inicial será igual à soma dessas energias no ponto B.

Passo 3

No ponto inicial, o pêndulo está na posição mais alta, fazendo um ângulo Uinicial = mgh com a vertical. Nesse ponto, a velocidade é zero, então a energia cinética é zero. A energia potencial h = l - l cos theta = l(1 - cos theta) pode ser calculada em relação ao ponto mais baixo (ponto B) usando a fórmula:
Uinicial = mg l (1 - cos theta)
onde é a altura em relação ao ponto B. Para encontrar , observamos que:
Então:

Passo 4

No ponto B, o pêndulo está no ponto mais baixo da trajetória. Aqui, a altura Kfinal = 12 m v^2 é zero, então a energia potencial também é zero. Toda a energia está na forma de energia cinética , que é dada por:
onde é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Aplicando o princípio da conservação da energia, igualamos a energia inicial à energia final:
Uinicial = Kfinal
Substituindo as expressões que temos:
mg l (1 - cos theta) = 12 m v^2
Podemos simplificar cancelando a massa g l (1 - cos theta) = 12 v^2 dos dois lados:
v^2 = 2 g l (1 - cos theta)
Agora, resolvemos para v = raiz2 g l (1 - cos theta) :

Resposta

A velocidade do pêndulo no ponto mais baixo da trajetória é:
v = raiz2 g l (1 - cos theta)

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