Dois carros,
e
, movem-se no mesmo sentido com velocidade
e
respectivamente. Quando o carro
está à uma distância
atrás de
, o motorista do carro
pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante. Demonstrar que, para não haver colisão entre
e
, é necessário que:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, o
e o
, que estão andando na mesma direção. O carro
está um pouco atrás do
, a uma distância
, e está indo mais rápido que o
(
). A parada quer que a gente mostre que, para o carro
não bater no
quando freia com uma desaceleração constante
, a diferença de velocidade entre eles precisa ser pelo menos
. Vamos usar conceitos de cinemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como a distância entre os carros muda ao longo do tempo. O carro
está diminuindo a velocidade e, se ele desacelerar muito, pode não conseguir evitar bater no
. Precisamos encontrar uma condição para que essa distância não chegue a zero.
Passo 3
Vamos definir as posições dos carros em relação ao tempo. Suponha que no instante em que o carro
começa a frear, a posição do carro
é nossa referência, ou seja,
. A posição do carro
é então
.
Passo 4
Agora, vamos expressar as posições dos carros em função do tempo. Para o carro
, que está se movendo com velocidade constante
, temos:
Para o carro
, que está freando com uma desaceleração constante
, a posição em função do tempo é:
Passo 5
Queremos evitar a colisão, ou seja, queremos que
para todo
. Então, igualamos as posições:
Vamos rearranjar essa inequação:
Passo 6
Essa é uma inequação do segundo grau em
. Para que não haja colisão, o lado esquerdo nunca deve ultrapassar
. Vamos encontrar o valor máximo dessa expressão e garantir que ele seja menor ou igual a
.
Passo 7
A expressão
é uma parábola que abre para baixo. O ponto de máximo ocorre quando a derivada em relação ao tempo
é zero.
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Passo 8
Agora, substituímos esse valor de
na expressão original para encontrar o valor máximo:
Simplificando:
Passo 9
Para evitar a colisão, esse valor máximo deve ser menor ou igual a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Como queremos que o carro
não bata no
, precisamos inverter a desigualdade:
Resposta
Portanto, para que o carro
não colida com o carro
, a diferença de velocidade deve satisfazer:
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Uma força horizontal de
é aplicada a um caixote de
inicialmente em repouso em um piso horizontal. Se os coeficientes de atrito são
e
, o módulo da força de atrito que age sobre o caixote é
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
O bloco
, de massa
, está inicialmente em repouso em um piso horizontal. O bloco B, de massa
, está inicialmente em repouso na face superior horizontal do bloco A. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é
. Se o bloco A for puxado por uma força horizontal, começará a escorregar em relação ao bloco B se a força for maior que
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.