Dois carros, e , movem-se no mesmo sentido com velocidade e respectivamente. Quando o carro está à uma distância atrás de , o motorista do carro pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante. Demonstrar que, para não haver colisão entre e , é necessário que:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, o e o , que estão andando na mesma direção. O carro está um pouco atrás do , a uma distância , e está indo mais rápido que o ( ). A parada quer que a gente mostre que, para o carro não bater no quando freia com uma desaceleração constante , a diferença de velocidade entre eles precisa ser pelo menos . Vamos usar conceitos de cinemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a distância entre os carros muda ao longo do tempo. O carro está diminuindo a velocidade e, se ele desacelerar muito, pode não conseguir evitar bater no . Precisamos encontrar uma condição para que essa distância não chegue a zero.

Passo 3

Vamos definir as posições dos carros em relação ao tempo. Suponha que no instante em que o carro começa a frear, a posição do carro é nossa referência, ou seja, . A posição do carro é então .

Passo 4

Agora, vamos expressar as posições dos carros em função do tempo. Para o carro , que está se movendo com velocidade constante , temos:
Para o carro , que está freando com uma desaceleração constante , a posição em função do tempo é:

Passo 5

Queremos evitar a colisão, ou seja, queremos que para todo . Então, igualamos as posições:
Vamos rearranjar essa inequação:

Passo 6

Essa é uma inequação do segundo grau em . Para que não haja colisão, o lado esquerdo nunca deve ultrapassar . Vamos encontrar o valor máximo dessa expressão e garantir que ele seja menor ou igual a .

Passo 7

A expressão é uma parábola que abre para baixo. O ponto de máximo ocorre quando a derivada em relação ao tempo é zero.
Calculando a derivada:
Igualando a zero:

Passo 8

Agora, substituímos esse valor de na expressão original para encontrar o valor máximo:
Simplificando:

Passo 9

Para evitar a colisão, esse valor máximo deve ser menor ou igual a :
Multiplicando ambos os lados por :
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Como queremos que o carro não bata no , precisamos inverter a desigualdade:

Resposta

Portanto, para que o carro não colida com o carro , a diferença de velocidade deve satisfazer:

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a.
b.
c.
d.
e.
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a.
b.
c.
d.
e.
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