Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido com velocidade va e vb(va>vb) respectivamente. Quando o carro A está à uma distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante. Demonstrar que, para não haver colisão entre A e B, é necessário que:
va-vb >= raiz2 a d

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, o A e o B, que estão andando na mesma direção. O carro A está um pouco atrás do B, a uma distância d, e está indo mais rápido que o B ( va > vb). A parada quer que a gente mostre que, para o carro A não bater no B quando freia com uma desaceleração constante a, a diferença de velocidade entre eles precisa ser pelo menos raiz2 a d. Vamos usar conceitos de cinemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a distância entre os carros muda ao longo do tempo. O carro A está diminuindo a velocidade e, se ele desacelerar muito, pode não conseguir evitar bater no B. Precisamos encontrar uma condição para que essa distância não chegue a zero.

Passo 3

Vamos definir as posições dos carros em relação ao tempo. Suponha que no instante em que o carro A começa a frear, a posição do carro B é nossa referência, ou seja, xB(0) = 0. A posição do carro A é então xA(0) = -d.

Passo 4

Agora, vamos expressar as posições dos carros em função do tempo. Para o carro B, que está se movendo com velocidade constante vb, temos:
xB(t) = vb t
Para o carro A, que está freando com uma desaceleração constante a, a posição em função do tempo é:
xA(t) = -d + va t - 12 a t^2

Passo 5

Queremos evitar a colisão, ou seja, queremos que xA(t) <= xB(t) para todo t >= 0. Então, igualamos as posições:
- d + va t - 12 a t^2 <= vb t
Vamos rearranjar essa inequação:
va t - vb t - 12 a t^2 <= d
(va - vb) t - 12 a t^2 <= d

Passo 6

Essa é uma inequação do segundo grau em t. Para que não haja colisão, o lado esquerdo nunca deve ultrapassar d. Vamos encontrar o valor máximo dessa expressão e garantir que ele seja menor ou igual a d.

Passo 7

A expressão (va - vb) t - 12 a t^2 é uma parábola que abre para baixo. O ponto de máximo ocorre quando a derivada em relação ao tempo t é zero.
Calculando a derivada:
ddt[(va - vb) t - 12 a t^2] = va - vb - a t
Igualando a zero:
va - vb - a t = 0 implies t = va - vba

Passo 8

Agora, substituímos esse valor de t na expressão original para encontrar o valor máximo:
(va - vb) (va - vba) - 12 a (va - vba)^2
Simplificando:
(va - vb)^2a - (va - vb)^22a = (va - vb)^22a

Passo 9

Para evitar a colisão, esse valor máximo deve ser menor ou igual a d:
(va - vb)^22a <= d
Multiplicando ambos os lados por 2a:
(va - vb)^2 <= 2 a d
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
va - vb <= raiz2 a d
Como queremos que o carro A não bata no B, precisamos inverter a desigualdade:
va - vb >= raiz2 a d

Resposta

Portanto, para que o carro A não colida com o carro B, a diferença de velocidade deve satisfazer:
va - vb >= raiz2 a d

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