Usando substituição, prove que, para quaisquer números positivos
e
,
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo integral. A questão pede para provar, usando o método de substituição, que para quaisquer números positivos
e
, a integral de
de
até
é igual à integral de
de
até
. Vamos usar o conceito de substituição de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma substituição em integrais. Basicamente, a gente troca uma variável por outra para simplificar a integral. Aqui, vamos escolher uma substituição que relacione os limites de
e
com
e
.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
tal que:
Isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferencial de
em termos de
:
Isso porque, derivando
em relação a
, obtemos
.
Passo 5
Em seguida, vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites de integração em termos de
são de
a
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que: