Usando substituição, prove que, para quaisquer números positivos e ,

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo integral. A questão pede para provar, usando o método de substituição, que para quaisquer números positivos e , a integral de de até é igual à integral de de até . Vamos usar o conceito de substituição de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma substituição em integrais. Basicamente, a gente troca uma variável por outra para simplificar a integral. Aqui, vamos escolher uma substituição que relacione os limites de e com e .

Passo 3

Vamos definir uma nova variável tal que:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferencial de em termos de :
Isso porque, derivando em relação a , obtemos .

Passo 5

Em seguida, vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando :
E quando :
Então, os novos limites de integração em termos de são de a .

Passo 6

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando, o no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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a) Quais teriam sido a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da bala no instante ?
Resposta: e
Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a e o outro viaja para o oeste a . A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?
Calcule as integrais definidas:
(l)
Calcule a integral.