Usando substituição, prove que, para quaisquer números positivos x e y,
integralx^x y 1t d t=integral1^y 1t d t

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo integral. A questão pede para provar, usando o método de substituição, que para quaisquer números positivos e , a integral de de até é igual à integral de de até . Vamos usar o conceito de substituição de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma substituição em integrais. Basicamente, a gente troca uma variável por outra para simplificar a integral. Aqui, vamos escolher uma substituição que relacione os limites de e com e .

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = tx tal que:
Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferencial de dt = x , du em termos de :
Isso porque, derivando em relação a , obtemos .

Passo 5

Em seguida, vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando u = xx = 1 :
u = xyx = y
E quando :
Então, os novos limites de integração em termos de são de a .

Passo 6

Agora, substituímos integralx^xy 1t , dt = integral1^y 1x cdot u cdot x , du e = integral1^y 1u , du na integral original:
Simplificando, o no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integralx^x y 1t , dt = integral1^y 1t , dt

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