Usando substituição, prove que, para quaisquer números positivos
e
,
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo integral. A questão pede para provar, usando o método de substituição, que para quaisquer números positivos
e
, a integral de
de
até
é igual à integral de
de
até
. Vamos usar o conceito de substituição de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma substituição em integrais. Basicamente, a gente troca uma variável por outra para simplificar a integral. Aqui, vamos escolher uma substituição que relacione os limites de
e
com
e
.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável
tal que:
Isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a diferencial de
em termos de
:
Isso porque, derivando
em relação a
, obtemos
.
Passo 5
Em seguida, vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites de integração em termos de
são de
a
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Se Galileu tivesse deixado cair uma bala de canhão do topo da torre de Pisa, 179 pés acima do solo, sua altura
segundos depois de cair teria sido
pés em relação ao solo.
a) Quais teriam sido a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da bala no instante ?
Resposta: e
a) Quais teriam sido a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da bala no instante
Resposta:
Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
e o outro viaja para o oeste a
. A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?
Calcule as integrais definidas:
(l)
(l)
Calcule a integral.