A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes dados:
2194 2165 2270 2195 2168 2173 2181 2176 2202 2137 2186 2181
Construa um intervalo confidencial de de confiança a resistência média do concreto.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde um engenheiro civil está testando a resistência do concreto à compressão. Ele fez 12 testes e obteve os seguintes valores: 2194, 2165, 2270, 2195, 2168, 2173, 2181, 2176, 2202, 2137, 2186 e 2181. O que a gente precisa fazer é construir um intervalo de confiança de 95% para a resistência média do concreto. Isso significa que queremos ter certeza, com 95% de confiança, de que a média verdadeira está dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e a distribuição t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (n=12).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos dados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Calculando isso:

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra, que nos mostra quão dispersos os dados estão em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
Vamos calcular cada diferença ao quadrado, somar e depois dividir por (12 - 1 = 11):

Passo 4

Como a amostra é pequena (n < 30) e não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. Precisamos encontrar o valor crítico t para um intervalo de confiança de 95% com 11 graus de liberdade (df = n - 1 = 11). Consultando a tabela t, encontramos que t ≈ 2,201.

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão da média, que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:

Passo 6

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico t pelo erro padrão:

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança subtraindo e adicionando a margem de erro à média:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a resistência média do concreto é aproximadamente de 2166,65 a 2213,69.

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