Dois corpos A e B estão separados por uma distância de 500 m na vertical. Depois de quanto tempo que o Professor Gomes jogar B para cima com uma velocidade de 100 m / s, A deve ser solto para que ambos caiam juntos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois corpos, A e B, separados verticalmente por 500 metros. O Professor Gomes vai lançar o corpo B para cima com uma velocidade inicial de 100 , m/s. A pergunta é: depois de quanto tempo ele deve soltar o corpo A para que ambos caiam juntos? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, especialmente os movimentos de queda livre e lançamento vertical. Vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente variado (MUV) para calcular os tempos e alturas envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o movimento do corpo B, que é lançado para cima. A fórmula que descreve a posição de B em função do tempo é:
yB(t) = yB0 + vB0 t - 12 g t^2
Onde:
  • $ y_{B0} = 500 , m $ (posição inicial de B)
  • $ v_{B0} = 100 , m/s $ (velocidade inicial)
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
  • $ t $ é o tempo após o lançamento

Passo 3

Agora, vamos considerar o corpo A, que será solto depois de um tempo $ t_s $. Quando A for solto, ele começa a cair livremente. A posição de A em função do tempo é:
ts
Onde:
  • $ y_{A0} = 0 , m $ (supondo que A é solto do solo)
  • $ t_s $ é o tempo após o lançamento de B quando A é solto

Passo 4

Para que ambos caiam juntos, as posições de A e B devem ser iguais no mesmo instante. Então, igualamos $ y_B(t) $ e $ y_A(t) $:
yB(t)

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
500 + 100 t - 4,9 t^2 = -4,9 (t^2 - 2 t ts + ts^2)
Expandindo o lado direito:
500 + 100 t - 4,9 t^2 = -4,9 t^2 + 9,8 t ts - 4,9 ts^2

Passo 6

Podemos cancelar os termos $ -4,9 t^2 $ dos dois lados:
-4,9 t^2

Passo 7

Queremos encontrar $ t_s $, então reorganizamos a equação:
ts

Passo 8

Vamos resolver essa equação para $ t_s $. Observando, percebemos que temos uma relação entre $ t $ e $ t_s $. Para simplificar, podemos assumir que ambos os corpos atingirão o solo ao mesmo tempo, ou seja, o tempo total de queda será igual para ambos desde o ponto de soltura.

Passo 9

Considerando que o tempo de queda livre para A é $ t = t_s $, e para B, o tempo até atingir o solo também será $ t = t_s $, podemos usar a fórmula de queda livre para encontrar $ t_s $:
t = ts

Passo 10

Agora, resolvemos a equação quadrática:
-4,9 ts^2 + 100 ts + 500 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
4,9 ts^2 - 100 ts - 500 = 0

Passo 11

Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação $ at^2 + bt + c = 0 $:
at^2 + bt + c = 0
Onde:
  • $ a = 4,9 $
  • $ b = -100 $
  • $ c = -500 $

Passo 12

Calculando o discriminante:
De
raizDe

Passo 13

Aplicando na fórmula:
ts = 100 pm 140,712 times 4,9
Isso nos dá duas soluções:
ts = 100 + 140,719,8 approx 24,51 , s
ts = 100 - 140,719,8 approx -4,12 , s , (desconsideramos, pois o tempo não pode ser negativo) ã

Resposta

O Professor Gomes deve soltar o corpo A aproximadamente 24,5 segundos após lançar o corpo B para que ambos caiam juntos.

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