Dois corpos A e B estão separados por uma distância de 500 m na vertical. Depois de quanto tempo que o Professor Gomes jogar B para cima com uma velocidade de
, A deve ser solto para que ambos caiam juntos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois corpos, A e B, separados verticalmente por 500 metros. O Professor Gomes vai lançar o corpo B para cima com uma velocidade inicial de
. A pergunta é: depois de quanto tempo ele deve soltar o corpo A para que ambos caiam juntos? Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática, especialmente os movimentos de queda livre e lançamento vertical. Vamos usar as fórmulas do movimento uniformemente variado (MUV) para calcular os tempos e alturas envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o movimento do corpo B, que é lançado para cima. A fórmula que descreve a posição de B em função do tempo é:
Onde:
- $ y_{B0} = 500 , m $ (posição inicial de B)
- $ v_{B0} = 100 , m/s $ (velocidade inicial)
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ t $ é o tempo após o lançamento
Passo 3
Agora, vamos considerar o corpo A, que será solto depois de um tempo $ t_s $. Quando A for solto, ele começa a cair livremente. A posição de A em função do tempo é:
Onde:
- $ y_{A0} = 0 , m $ (supondo que A é solto do solo)
- $ t_s $ é o tempo após o lançamento de B quando A é solto
Passo 4
Para que ambos caiam juntos, as posições de A e B devem ser iguais no mesmo instante. Então, igualamos $ y_B(t) $ e $ y_A(t) $:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Expandindo o lado direito:
Passo 6
Podemos cancelar os termos $ -4,9 t^2 $ dos dois lados:
Passo 7
Queremos encontrar $ t_s $, então reorganizamos a equação:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para $ t_s $. Observando, percebemos que temos uma relação entre $ t $ e $ t_s $. Para simplificar, podemos assumir que ambos os corpos atingirão o solo ao mesmo tempo, ou seja, o tempo total de queda será igual para ambos desde o ponto de soltura.
Passo 9
Considerando que o tempo de queda livre para A é $ t = t_s $, e para B, o tempo até atingir o solo também será $ t = t_s $, podemos usar a fórmula de queda livre para encontrar $ t_s $:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 11
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação $ at^2 + bt + c = 0 $:
Onde:
- $ a = 4,9 $
- $ b = -100 $
- $ c = -500 $
Passo 12
Calculando o discriminante:
Passo 13
Aplicando na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
O Professor Gomes deve soltar o corpo A aproximadamente 24,5 segundos após lançar o corpo B para que ambos caiam juntos.