Dois corpos de massas m1 e m2 colidem obliquamente em um plano horizontal. O corpo m1 tem uma velocidade inicial v1 e o corpo m2 está inicialmente em repouso. Após a colisão, a velocidade de m1 faz um ângulo theta1 com a direção original, enquanto a velocidade de m2 faz um ângulo theta2. Assumindo que a colisão é elástica, determine as velocidades finais de m1 e m2 em termos das massas, das velocidades iniciais e dos ângulos theta1 e theta2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois objetos, com massas e , que colidem de forma oblíqua em um plano horizontal. O primeiro objeto ( ) está se movendo com uma velocidade inicial , enquanto o segundo ( ) está parado. Depois da colisão, muda de direção fazendo um ângulo com a direção original, e também se move fazendo um ângulo . A colisão é elástica, ou seja, a energia cinética total é mantida. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de quantidade de movimento (nas direções x e y) e de conservação de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação da quantidade de movimento na direção horizontal (eixo x). Antes da colisão, apenas m1 v1 = m1 v1' cos(theta1) + m2 v2' cos(theta2) está se movendo, então a quantidade de movimento total na direção x é . Depois da colisão, tem uma velocidade fazendo um ângulo , e tem uma velocidade fazendo um ângulo . A componente horizontal dessas velocidades são e , respectivamente. Então, a conservação da quantidade de movimento na direção x fica:

Passo 3

Agora, vamos considerar a direção vertical (eixo y). Antes da colisão, não há movimento na vertical, então a quantidade de movimento total na direção y é zero. Depois da colisão, as componentes verticais das velocidades são 0 = m1 v1' sin(theta1) - m2 v2' sin(theta2) para e para . A conservação da quantidade de movimento na direção y fica então:
(Note que usamos o sinal negativo para assumindo que os dois movimentos verticais são em direções opostas.)

Passo 4

Como a colisão é elástica, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética antes da colisão é apenas a de 12 m1 v1^2 , já que 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2 está parado:
m1 v1^2 = m1 v1'^2 + m2 v2'^2
Depois da colisão, a energia cinética é a soma das energias de e :
Então, a conservação da energia cinética nos dá:

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. m1 v1' sin(theta1) = m2 v2' sin(theta2)
  2. v1' = m2 sin(theta2)m1 sin(theta1) v2'
  3. m1 v1 = m1 ( m2 sin(theta2)m1 sin(theta1) v2' ) cos(theta1) + m2 v2' cos(theta2)
Para encontrar m1 v1 = m2 sin(theta2) v2' + m2 v2' cos(theta2) e m1 v1 = m2 v2' (sin(theta2) + cos(theta2)) , podemos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar uma das velocidades em termos da outra. Por exemplo:
v2' = m1 v1m2 (sin(theta2) + cos(theta2))
v1' = m2 sin(theta2)m1 sin(theta1) times m1 v1m2 (sin(theta2) + cos(theta2))
Agora, substituímos v1' = v1 sin(theta2)sin(theta1) (sin(theta2) + cos(theta2)) dessa expressão na primeira equação:
Simplificando:
Resolvendo para :
Agora, substituímos de volta na expressão para :
Simplificando:

Resposta

As velocidades finais dos corpos após a colisão são:
v1' = v1 sin(theta2)sin(theta1) (sin(theta2) + cos(theta2))
v2' = m1 v1m2 (sin(theta2) + cos(theta2))

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