Um disco circular de raio R=4 m é composto por duas metades semicirculares de materiais diferentes. A metade esquerda tem uma densidade de massa rho1=2 kg m^-2, enquanto a metade direita tem uma densidade rho2=4 kg m^-2. Qual é a posição do centro de massa do disco ao longo do eixo x ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco com raio que é dividido em duas metades semicirculares. A metade da esquerda tem uma densidade de massa e a da direita tem . Nosso objetivo é encontrar a posição do centro de massa desse disco ao longo do eixo . Para isso, vamos precisar entender conceitos de massa, centro de massa e como calcular essas quantidades em objetos com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa barx = SxM de um objeto é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o momento de massa ao redor do eixo , ou seja, a soma de cada partícula de massa vezes sua posição .
  • é a massa total do objeto.
Então, precisamos calcular e para as duas metades do disco e depois somá-las.

Passo 3

Vamos começar calculando a massa de cada metade. A massa m = rho times A de uma área com densidade A = 12 pi R^2 é dada por:
m1 = rho1 times 12 pi R^2 = 2 times 12 pi (4)^2 = 2 times 12 pi times 16 = 16pi , kg
Onde m2 = rho2 times 12 pi R^2 = 4 times 12 pi (4)^2 = 4 times 12 pi times 16 = 32pi , kg é a área.
A área de uma metade de disco (um semicirculo) é:
Então, para a metade esquerda:
E para a metade direita:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de massa barx = 4R3pi para cada metade. Como as metades são simétricas em relação ao eixo barx = 4 times 43pi = 163pi , m , o centro de massa de cada semicirculo fica deslocado ao longo do eixo Sx1 = m1 times (-barx) = 16pi times (-163pi) = -2563 , kg·m .
A distância do centro de massa de um semicirculo em relação ao centro do disco é:
Sx2 = m2 times barx = 32pi times 163pi = 5123 , kg·m
Substituindo :
Para a metade esquerda, o centro de massa está na direção negativa do eixo , e para a direita, na positiva.
Então, o momento de massa para cada metade é:

Passo 5

Agora, somamos os momentos de massa das duas metades para obter o momento total:
Sx = Sx1 + Sx2 = -2563 + 5123 = 2563 , kg·m
E somamos as massas:
M = m1 + m2 = 16pi + 32pi = 48pi , kg

Passo 6

Finalmente, calculamos a posição do centro de massa barx = SxM = 256348pi = 2563 times 48pi = 256144pi = 169pi , m :

Resposta

O centro de massa do disco está localizado a uma distância de no eixo , ou seja, aproximadamente à direita do centro do disco.

Exercícios relacionados

Um feixe de partículas relativísticas com momento linear total p1 e energia total E1 colide frontalmente com outro feixe de partículas com momento p2 e energia E2. Qual é a energia total do sistema no referencial do centro de massa?
Dois patinadores, A e B, estão em uma pista de gelo sem atrito. O patinador A tem uma massa de mA=60 kg e está se movendo com velocidade vA=5 m s^-1, enquanto o patinador B tem uma massa de mB=80 kg e está se movendo em direção oposta com velocidade vB=-3 m s^-1. Após a colisão, eles se agarram e movem juntos. Qual é a velocidade do sistema após a colisão?
Um objeto de massa M=4 kg está inicialmente em repouso. Ele explode em duas partes, uma de massa m1=1 kg e outra de massa m2=3 kg. Após a explosão, a parte de m1 se move com uma velocidade de v1=6 ms^-1. Qual é a velocidade da parte de m2 após a explosão?
Dois corpos de massas m1 e m2 colidem obliquamente em um plano horizontal. O corpo m1 tem uma velocidade inicial v1 e o corpo m2 está inicialmente em repouso. Após a colisão, a velocidade de m1 faz um ângulo theta1 com a direção original, enquanto a velocidade de m2 faz um ângulo theta2. Assumindo que a colisão é elástica, determine as velocidades finais de m1 e m2 em termos das massas, das velocidades iniciais e dos ângulos theta1 e theta2.