Um disco circular de raio
é composto por duas metades semicirculares de materiais diferentes. A metade esquerda tem uma densidade de massa
, enquanto a metade direita tem uma densidade
. Qual é a posição do centro de massa do disco ao longo do eixo
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco com raio
que é dividido em duas metades semicirculares. A metade da esquerda tem uma densidade de massa
e a da direita tem
. Nosso objetivo é encontrar a posição do centro de massa desse disco ao longo do eixo
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de massa, centro de massa e como calcular essas quantidades em objetos com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa
de um objeto é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o momento de massa ao redor do eixo , ou seja, a soma de cada partícula de massa vezes sua posição . -
é a massa total do objeto.
Então, precisamos calcular
e
para as duas metades do disco e depois somá-las.
Passo 3
Vamos começar calculando a massa de cada metade. A massa
de uma área com densidade
é dada por:
Onde
é a área.
A área de uma metade de disco (um semicirculo) é:
Então, para a metade esquerda:
E para a metade direita:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de massa
para cada metade. Como as metades são simétricas em relação ao eixo
, o centro de massa de cada semicirculo fica deslocado ao longo do eixo
.
A distância do centro de massa de um semicirculo em relação ao centro do disco é:
Substituindo
:
Para a metade esquerda, o centro de massa está na direção negativa do eixo
, e para a direita, na positiva.
Então, o momento de massa para cada metade é:
Passo 5
Agora, somamos os momentos de massa das duas metades para obter o momento total:
E somamos as massas:
Passo 6
Finalmente, calculamos a posição do centro de massa
:
Resposta
O centro de massa do disco está localizado a uma distância de
no eixo
, ou seja, aproximadamente
à direita do centro do disco.
Exercícios relacionados
Um feixe de partículas relativísticas com momento linear total
e energia total
colide frontalmente com outro feixe de partículas com momento
e energia
. Qual é a energia total do sistema no referencial do centro de massa?
Dois patinadores,
e B, estão em uma pista de gelo sem atrito. O patinador
tem uma massa de
e está se movendo com velocidade
, enquanto o patinador
tem uma massa de
e está se movendo em direção oposta com velocidade
. Após a colisão, eles se agarram
movem juntos. Qual é a velocidade do sistema após a colisão?
Um objeto de massa
está inicialmente em repouso. Ele explode em duas partes, uma de massa
e outra de massa
. Após a explosão, a parte de
se move com uma velocidade de
. Qual é a velocidade da parte de
após a explosão?
Dois corpos de massas
e
colidem obliquamente em um plano horizontal.
corpo
tem uma velocidade inicial
e o corpo
está inicialmente em repouso. Após a colisão, a velocidade de
faz um ângulo
com a direção original, enquanto a velocidade de
faz um ângulo
. Assumindo que a colisão é elástica, determine as velocidades finais de
e
em termos das massas, das velocidades iniciais e dos ângulos
e
.