Dois dados honestos são lançados. Considere os seguintes eventos: A=(x1, x2) ; x1+x2=10 e B=(x1, x2) ; x1>x2, em que xi é o resultado que apareceu no i-ésimo dado. Calcule:
(a) P(A mid B).
(b) P(B mid A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois dados normais sendo lançados. Queremos calcular algumas probabilidades condicionais envolvendo os eventos:
  • Evento A: A soma dos dois dados é igual a 10, ou seja, .
  • Evento B: O primeiro dado é maior que o segundo, ou seja, .
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver as partes (a) e (b). Para isso, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) P(A mid B) = P(A cap B)P(B) , que é a probabilidade do evento A acontecer dado que o evento B já ocorreu.
A fórmula da probabilidade condicional é:
Onde:
  • é a probabilidade dos dois eventos A e B acontecerem juntos.
  • é a probabilidade do evento B acontecer.

Passo 3

Calculando P(B) = 1536 = 512 :
Primeiro, precisamos determinar todos os resultados possíveis quando lançamos dois dados. Cada dado tem 6 faces, então temos combinações possíveis.
O evento B é . Vamos contar quantas combinações satisfazem essa condição:
  • Se , pode ser 1 → 1 possibilidade
  • Se , pode ser 1 ou 2 → 2 possibilidades
  • Se , pode ser 1, 2 ou 3 → 3 possibilidades
  • Se , pode ser 1, 2, 3 ou 4 → 4 possibilidades
  • Se , pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5 → 5 possibilidades
Total de combinações onde :
Então,

Passo 4

Calculando P(A cap B) = 136 :
Agora, queremos as combinações onde a soma dos dois dados é 10 e o primeiro dado é maior que o segundo.
Vamos listar as combinações que somam 10:
  • (4,6)
  • (5,5)
  • (6,4)
Dessas, quais têm ?
  • (4,6): 4 < 6 → Não
  • (5,5): 5 = 5 → Não
  • (6,4): 6 > 4 → Sim
Portanto, apenas uma combinação satisfaz .
Então,

Passo 5

Calculando P(A mid B) = P(A cap B)P(B) = 136512 = 136 times 125 = 12180 = 115 :
Agora, usando a fórmula da probabilidade condicional:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) P(B mid A) = P(A cap B)P(A) , que é a probabilidade do evento B acontecer dado que o evento A já ocorreu.
Usamos novamente a fórmula da probabilidade condicional:

Passo 7

Calculando P(A) = 336 = 112 :
O evento A é que a soma dos dois dados seja 10. Já listamos as combinações que somam 10:
  • (4,6)
  • (5,5)
  • (6,4)
Então, temos 3 combinações que satisfazem A.

Passo 8

Calculando P(B mid A) = P(A cap B)P(A) = 136112 = 136 times 12 = 1236 = 13 :
Usando a fórmula:

Resposta

(a)
(b)

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