Dois dados honestos são lançados. Considere os seguintes eventos:
e
, em que
é o resultado que apareceu no
-ésimo dado. Calcule:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois dados normais sendo lançados. Queremos calcular algumas probabilidades condicionais envolvendo os eventos:
- Evento A: A soma dos dois dados é igual a 10, ou seja,
. - Evento B: O primeiro dado é maior que o segundo, ou seja,
.
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver as partes (a) e (b). Para isso, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a)
, que é a probabilidade do evento A acontecer dado que o evento B já ocorreu.
A fórmula da probabilidade condicional é:
Onde:
-
é a probabilidade dos dois eventos A e B acontecerem juntos. -
é a probabilidade do evento B acontecer.
Passo 3
Calculando
:
Primeiro, precisamos determinar todos os resultados possíveis quando lançamos dois dados. Cada dado tem 6 faces, então temos
combinações possíveis.
O evento B é
. Vamos contar quantas combinações satisfazem essa condição:
- Se
, pode ser 1 → 1 possibilidade - Se
, pode ser 1 ou 2 → 2 possibilidades - Se
, pode ser 1, 2 ou 3 → 3 possibilidades - Se
, pode ser 1, 2, 3 ou 4 → 4 possibilidades - Se
, pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5 → 5 possibilidades
Total de combinações onde
:
Então,
Passo 4
Calculando
:
Agora, queremos as combinações onde a soma dos dois dados é 10 e o primeiro dado é maior que o segundo.
Vamos listar as combinações que somam 10:
- (4,6)
- (5,5)
- (6,4)
Dessas, quais têm
?
- (4,6): 4 < 6 → Não
- (5,5): 5 = 5 → Não
- (6,4): 6 > 4 → Sim
Portanto, apenas uma combinação satisfaz
.
Então,
Passo 5
Calculando
:
Agora, usando a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b)
, que é a probabilidade do evento B acontecer dado que o evento A já ocorreu.
Usamos novamente a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 7
Calculando
:
O evento A é que a soma dos dois dados seja 10. Já listamos as combinações que somam 10:
- (4,6)
- (5,5)
- (6,4)
Então, temos 3 combinações que satisfazem A.
Passo 8
Calculando
:
Usando a fórmula:
Resposta
(a)
(b)
Exercícios relacionados
Um jogador
paga
a
e lança um dado. Se sair face 3 , ganha
. Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha
. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja
o lucro líquido do jogador
nesse jogo.
Determinar:
b) ;
Determinar:
b)
Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de
.
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude
. Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude
, tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades
e
, respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude
. Construir a função de probabilidade de
, calcular
e
, admitindo independência entre ruído e sinal.
assume os valores
, cada um com probabilidade
.
Um jogador
paga
a
e lança um dado. Se sair face 3 , ganha
. Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha
. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja
o lucro líquido do jogador
nesse jogo.
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de ;
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de