Dois dados honestos são lançados. Considere os seguintes eventos: e , em que é o resultado que apareceu no -ésimo dado. Calcule:
(a) .
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois dados normais sendo lançados. Queremos calcular algumas probabilidades condicionais envolvendo os eventos:
  • Evento A: A soma dos dois dados é igual a 10, ou seja, .
  • Evento B: O primeiro dado é maior que o segundo, ou seja, .
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver as partes (a) e (b). Para isso, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) , que é a probabilidade do evento A acontecer dado que o evento B já ocorreu.
A fórmula da probabilidade condicional é:
Onde:
  • é a probabilidade dos dois eventos A e B acontecerem juntos.
  • é a probabilidade do evento B acontecer.

Passo 3

Calculando :
Primeiro, precisamos determinar todos os resultados possíveis quando lançamos dois dados. Cada dado tem 6 faces, então temos combinações possíveis.
O evento B é . Vamos contar quantas combinações satisfazem essa condição:
  • Se , pode ser 1 → 1 possibilidade
  • Se , pode ser 1 ou 2 → 2 possibilidades
  • Se , pode ser 1, 2 ou 3 → 3 possibilidades
  • Se , pode ser 1, 2, 3 ou 4 → 4 possibilidades
  • Se , pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5 → 5 possibilidades
Total de combinações onde :
Então,

Passo 4

Calculando :
Agora, queremos as combinações onde a soma dos dois dados é 10 e o primeiro dado é maior que o segundo.
Vamos listar as combinações que somam 10:
  • (4,6)
  • (5,5)
  • (6,4)
Dessas, quais têm ?
  • (4,6): 4 < 6 → Não
  • (5,5): 5 = 5 → Não
  • (6,4): 6 > 4 → Sim
Portanto, apenas uma combinação satisfaz .
Então,

Passo 5

Calculando :
Agora, usando a fórmula da probabilidade condicional:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) , que é a probabilidade do evento B acontecer dado que o evento A já ocorreu.
Usamos novamente a fórmula da probabilidade condicional:

Passo 7

Calculando :
O evento A é que a soma dos dois dados seja 10. Já listamos as combinações que somam 10:
  • (4,6)
  • (5,5)
  • (6,4)
Então, temos 3 combinações que satisfazem A.

Passo 8

Calculando :
Usando a fórmula:

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
b) ;
Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de .
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude . Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude , tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades e , respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude . Construir a função de probabilidade de , calcular e , admitindo independência entre ruído e sinal. assume os valores , cada um com probabilidade .
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Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de ;