Dois dados honestos são lançados. Considere os seguintes eventos:
e
, em que
é o resultado que apareceu no
-ésimo dado. Calcule:
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois dados normais sendo lançados. Queremos calcular algumas probabilidades condicionais envolvendo os eventos:
- Evento A: A soma dos dois dados é igual a 10, ou seja,
. - Evento B: O primeiro dado é maior que o segundo, ou seja,
.
Vamos usar conceitos de probabilidade condicional para resolver as partes (a) e (b). Para isso, precisamos entender como calcular a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já aconteceu.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a)
, que é a probabilidade do evento A acontecer dado que o evento B já ocorreu.
A fórmula da probabilidade condicional é:
Onde:
-
é a probabilidade dos dois eventos A e B acontecerem juntos. -
é a probabilidade do evento B acontecer.
Passo 3
Calculando
:
Primeiro, precisamos determinar todos os resultados possíveis quando lançamos dois dados. Cada dado tem 6 faces, então temos
combinações possíveis.
O evento B é
. Vamos contar quantas combinações satisfazem essa condição:
- Se
, pode ser 1 → 1 possibilidade - Se
, pode ser 1 ou 2 → 2 possibilidades - Se
, pode ser 1, 2 ou 3 → 3 possibilidades - Se
, pode ser 1, 2, 3 ou 4 → 4 possibilidades - Se
, pode ser 1, 2, 3, 4 ou 5 → 5 possibilidades
Total de combinações onde
:
Então,
Passo 4
Calculando
:
Agora, queremos as combinações onde a soma dos dois dados é 10 e o primeiro dado é maior que o segundo.
Vamos listar as combinações que somam 10:
- (4,6)
- (5,5)
- (6,4)
Dessas, quais têm
?
- (4,6): 4 < 6 → Não
- (5,5): 5 = 5 → Não
- (6,4): 6 > 4 → Sim
Portanto, apenas uma combinação satisfaz
.
Então,
Passo 5
Calculando
:
Agora, usando a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b)
, que é a probabilidade do evento B acontecer dado que o evento A já ocorreu.
Usamos novamente a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 7
Calculando
:
O evento A é que a soma dos dois dados seja 10. Já listamos as combinações que somam 10:
- (4,6)
- (5,5)
- (6,4)
Então, temos 3 combinações que satisfazem A.
Passo 8
Calculando
:
Usando a fórmula:
Resposta
(a)
(b)