Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de ;
Passo 1
Vamos resumir o problema: o jogador A paga R$5,00 para participar do jogo. Ele lança um dado e, dependendo do resultado, pode ganhar ou perder dinheiro. Usaremos conceitos de probabilidade para identificar todos os possíveis resultados, calcular os lucros líquidos e determinar a distribuição de probabilidade de , que representa o lucro líquido do jogador A.
Passo 2
No primeiro lançamento, o jogador A lança um dado de 6 faces. As possíveis faces que podem sair são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Se sair a face 3: A ganha R$20,00.
Se sair as faces 4, 5 ou 6: A perde o jogo e não ganha nada.
Se sair as faces 1 ou 2: A tem o direito de jogar novamente.
Passo 3
Se o jogador A precisar jogar novamente (ou seja, se sair 1 ou 2 no primeiro lançamento), ele lança dois dados de 6 faces cada. As possíveis combinações nesse segundo lançamento são:
Duas faces 6: A ganha R$50,00.
Uma face 6: A recebe de volta o dinheiro que pagou, ou seja, R$5,00.
Demais combinações: A perde o jogo e não ganha nada.
Passo 4
Vamos calcular o lucro líquido para cada caso possível:
Primeiro lançamento: Face 3
Custo inicial: -R$5,00
Ganho: +R$20,00
Lucro líquido:
Primeiro lançamento: Faces 4, 5 ou 6
Custo inicial: -R$5,00
Ganho: R$0,00
Lucro líquido:
Primeiro lançamento: Faces 1 ou 2 (jogo novamente)
Segundo lançamento: Duas faces 6
Custo inicial: -R$5,00
Ganho: +R$50,00
Lucro líquido:
Segundo lançamento: Uma face 6
Custo inicial: -R$5,00
Ganho: +R$5,00
Lucro líquido:
Segundo lançamento: Demais combinações
Custo inicial: -R$5,00
Ganho: R$0,00
Lucro líquido:
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades de cada lucro líquido:
Probabilidades do primeiro lançamento:
Face 3:
Faces 4, 5 ou 6:
Faces 1 ou 2:
Probabilidades do segundo lançamento (com dois dados):
Duas faces 6: Apenas 1 combinação possível ��
Uma face 6: 10 combinações possíveis →
Demais combinações:
Combinação das probabilidades para cada :
:
Vem apenas se sair face 3 no primeiro lançamento.
:
Pode ocorrer de duas maneiras:
Sair faces 4, 5 ou 6 no primeiro lançamento.
Probabilidade:
Sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e, no segundo lançamento, não sair nenhuma face 6.
Probabilidade:
Total:
:
Ocorre se sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e duas faces 6 no segundo.
:
Ocorre se sair faces 1 ou 2 no primeiro lançamento e uma face 6 no segundo.