Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude . Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude , tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades e , respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude . Construir a função de probabilidade de , calcular e , admitindo independência entre ruído e sinal. assume os valores , cada um com probabilidade .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sinal representado por vibrações com magnitude e um ruído representado por vibrações com magnitude . O objetivo é combinar esses dois (sinal e ruído) para formar uma nova vibração . Precisamos construir a função de probabilidade de , calcular o valor esperado e a variância. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade discreta e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os valores que e podem assumir e suas probabilidades:
pode ser: 1, 0, -1, cada um com probabilidade .
pode ser: 2, 0, -2, com probabilidades , e , respectivamente.
Como e e são independentes, podemos calcular todas as combinações possíveis de e para encontrar os valores possíveis de e suas probabilidades.
Passo 3
Vamos listar todas as combinações de e e calcular :
Probabilidade
1
2
3
1
0
1
1
-2
-1
0
2
2
0
0
0
0
-2
-2
-1
2
1
-1
0
-1
-1
-2
-3
Agora, vamos agrupar os valores iguais de e somar suas probabilidades para construir a função de probabilidade de :
:
:
:
:
:
:
:
Então, a função de probabilidade de fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado E(Z) = sum z times PZ(z) . O valor esperado é basicamente a média ponderada dos possíveis valores de E(Z) = 3 times 118 + 2 times 118 + 1 times 518 + 0 times 29 + (-1) times 518 + (-2) times 118 + (-3) times 118 pelas suas probabilidades:
Agora, vamos calcular a variância VAR(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 . A variância mede o quanto os valores de E(Z^2) = sum z^2 times PZ(z) estão espalhados em relação ao valor esperado.
A fórmula para a variância é:
E(Z^2) = 3^2 times 118 + 2^2 times 118 + 1^2 times 518 + 0^2 times 29 + (-1)^2 times 518 + (-2)^2 times 118 + (-3)^2 times 118
Primeiro, vamos calcular E(Z^2) = 9 times 118 + 4 times 118 + 1 times 518 + 0 + 1 times 518 + 4 times 118 + 9 times 118 :
E(Z^2) = 9 + 4 + 5 + 0 + 5 + 4 + 918 = 3618 = 2
Calculando passo a passo:
VAR(Z) = 2 - 0^2 = 2
Simplificando:
Sabemos que , então:
Então, a variância é 2.
Resposta
A função de probabilidade de PZ(z) = 118, & se z = 3 118, & se z = 2 518, & se z = 1 29, & se z = 0 518, & se z = -1 118, & se z = -2 118, & se z = -3 0, & caso contrário é: