Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude . Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude , tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades e , respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude . Construir a função de probabilidade de , calcular e , admitindo independência entre ruído e sinal. assume os valores , cada um com probabilidade .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sinal representado por vibrações com magnitude e um ruído representado por vibrações com magnitude . O objetivo é combinar esses dois (sinal e ruído) para formar uma nova vibração . Precisamos construir a função de probabilidade de , calcular o valor esperado e a variância . Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade discreta e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os valores que e podem assumir e suas probabilidades:
  • pode ser: 1, 0, -1, cada um com probabilidade .
  • pode ser: 2, 0, -2, com probabilidades , e , respectivamente.
Como e e são independentes, podemos calcular todas as combinações possíveis de e para encontrar os valores possíveis de e suas probabilidades.

Passo 3

Vamos listar todas as combinações de e e calcular :
Probabilidade
1 2 3
1 0 1
1 -2 -1
0 2 2
0 0 0
0 -2 -2
-1 2 1
-1 0 -1
-1 -2 -3
Agora, vamos agrupar os valores iguais de e somar suas probabilidades para construir a função de probabilidade de :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Então, a função de probabilidade de fica assim:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado . O valor esperado é basicamente a média ponderada dos possíveis valores de pelas suas probabilidades:
Vamos calcular passo a passo:
Simplificando:
Somando tudo:
Então, o valor esperado é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância . A variância mede o quanto os valores de estão espalhados em relação ao valor esperado.
A fórmula para a variância é:
Primeiro, vamos calcular :
Calculando passo a passo:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Então, a variância é 2.

Resposta

A função de probabilidade de é:
á
O valor esperado é 0 e a variância é 2.

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Dois dados honestos são lançados. Considere os seguintes eventos: e , em que é o resultado que apareceu no -ésimo dado. Calcule:
(a) .
(b) .
Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
b) ;
Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
a) Distribuição de probabilidade de ;
Sejam e eventos sobre o mesmo espaço amostral tais que , e . Calcule:
(a) .
(b) .
© .