Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude . Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude , tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades e , respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude . Construir a função de probabilidade de , calcular e , admitindo independência entre ruído e sinal. assume os valores , cada um com probabilidade .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sinal representado por vibrações com magnitude e um ruído representado por vibrações com magnitude . O objetivo é combinar esses dois (sinal e ruído) para formar uma nova vibração . Precisamos construir a função de probabilidade de , calcular o valor esperado e a variância. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade discreta e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os valores que e podem assumir e suas probabilidades:
pode ser: 1, 0, -1, cada um com probabilidade .
pode ser: 2, 0, -2, com probabilidades , e , respectivamente.
Como e e são independentes, podemos calcular todas as combinações possíveis de e para encontrar os valores possíveis de e suas probabilidades.
Passo 3
Vamos listar todas as combinações de e e calcular :
Probabilidade
1
2
3
1
0
1
1
-2
-1
0
2
2
0
0
0
0
-2
-2
-1
2
1
-1
0
-1
-1
-2
-3
Agora, vamos agrupar os valores iguais de e somar suas probabilidades para construir a função de probabilidade de :
:
:
:
:
:
:
:
Então, a função de probabilidade de fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado. O valor esperado é basicamente a média ponderada dos possíveis valores de pelas suas probabilidades:
Vamos calcular passo a passo:
Simplificando:
Somando tudo:
Então, o valor esperado é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância. A variância mede o quanto os valores de estão espalhados em relação ao valor esperado.