Um sinal consiste de uma série de vibrações de magnitude X. Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude Y, tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades 1 / 6,2 / 3 e 1 / 6, respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude Z=X+Y. Construir a função de probabilidade de Z, calcular E(Z) e VAR(Z), admitindo independência entre ruído e sinal. X assume os valores 1,0 e-1, cada um com probabilidade 1 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sinal representado por vibrações com magnitude e um ruído representado por vibrações com magnitude . O objetivo é combinar esses dois (sinal e ruído) para formar uma nova vibração . Precisamos construir a função de probabilidade de , calcular o valor esperado e a variância . Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade discreta e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os valores que e podem assumir e suas probabilidades:
  • pode ser: 1, 0, -1, cada um com probabilidade .
  • pode ser: 2, 0, -2, com probabilidades , e , respectivamente.
Como e e são independentes, podemos calcular todas as combinações possíveis de e para encontrar os valores possíveis de e suas probabilidades.

Passo 3

Vamos listar todas as combinações de PZ(z) = 118, & se z = 3 118, & se z = 2 518, & se z = 1 29, & se z = 0 518, & se z = -1 118, & se z = -2 118, & se z = -3 0, & caso contrário e e calcular :
Probabilidade
1 2 3
1 0 1
1 -2 -1
0 2 2
0 0 0
0 -2 -2
-1 2 1
-1 0 -1
-1 -2 -3
Agora, vamos agrupar os valores iguais de e somar suas probabilidades para construir a função de probabilidade de :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Então, a função de probabilidade de fica assim:
á

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado E(Z) = sum z times PZ(z) . O valor esperado é basicamente a média ponderada dos possíveis valores de E(Z) = 3 times 118 + 2 times 118 + 1 times 518 + 0 times 29 + (-1) times 518 + (-2) times 118 + (-3) times 118 pelas suas probabilidades:
E(Z) = 318 + 218 + 518 + 0 + (-518) + (-218) + (-318)
Vamos calcular passo a passo:
E(Z) = 3 + 2 + 5 - 5 - 2 - 318 = 018 = 0
Simplificando:
Somando tudo:
Então, o valor esperado é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância VAR(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 . A variância mede o quanto os valores de E(Z^2) = sum z^2 times PZ(z) estão espalhados em relação ao valor esperado.
A fórmula para a variância é:
E(Z^2) = 3^2 times 118 + 2^2 times 118 + 1^2 times 518 + 0^2 times 29 + (-1)^2 times 518 + (-2)^2 times 118 + (-3)^2 times 118
Primeiro, vamos calcular E(Z^2) = 9 times 118 + 4 times 118 + 1 times 518 + 0 + 1 times 518 + 4 times 118 + 9 times 118 :
E(Z^2) = 9 + 4 + 5 + 0 + 5 + 4 + 918 = 3618 = 2
Calculando passo a passo:
VAR(Z) = 2 - 0^2 = 2
Simplificando:
Sabemos que , então:
Então, a variância é 2.

Resposta

A função de probabilidade de PZ(z) = 118, & se z = 3 118, & se z = 2 518, & se z = 1 29, & se z = 0 518, & se z = -1 118, & se z = -2 118, & se z = -3 0, & caso contrário é:
á
O valor esperado é 0 e a variância é 2.

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