Um jogador paga a e lança um dado. Se sair face 3 , ganha . Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha . Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja o lucro líquido do jogador nesse jogo.
Determinar:
b) ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido! Temos um jogo de probabilidade onde o jogador paga R$ 5,00 para jogar. Dependendo do resultado do lançamento de um dado, ele pode ganhar ou perder dinheiro. Se sair 1 ou 2, ele joga de novo com duas dados, o que também pode resultar em ganhos ou perdas diferentes. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do lucro líquido do jogador , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados do primeiro lançamento do dado e suas probabilidades. Um dado tem 6 faces, então cada face tem uma probabilidade de de sair.
  • Face 3: O jogador ganha R$ 20,00.
  • Faces 4, 5 ou 6: O jogador perde o valor pago, ou seja, perde R$ 5,00.
  • Faces 1 ou 2: O jogador tem direito a jogar novamente com dois dados.

Passo 3

Vamos calcular o lucro líquido para cada um desses casos:
  1. Face 3:
    • Ganha R$ 20,00.
    • Lucro líquido: R$ 20,00 - R$ 5,00 = R$ 15,00.
  2. Faces 4, 5 ou 6:
    • Perde R$ 5,00.
    • Lucro líquido: -R$ 5,00.
  3. Faces 1 ou 2:
    • Paga R$ 5,00 e joga novamente.
    • Precisamos analisar os resultados desse segundo lançamento.

Passo 4

Agora, vamos detalhar o segundo lançamento com dois dados:
  • Duas faces 6: O jogador ganha R$ 50,00.
  • Uma face 6: O jogador recebe de volta os R$ 5,00 pagos inicialmente.
  • Outros casos: O jogador perde R$ 5,00.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses eventos.
  • Probabilidade de duas faces 6: Como cada dado é independente, a probabilidade é .
  • Probabilidade de uma face 6: Existem duas possibilidades: o primeiro dado é 6 e o segundo não, ou o primeiro não é 6 e o segundo é. Então, .
  • Probabilidade de nenhum 6: .

Passo 5

Agora, vamos calcular o lucro líquido para cada resultado do segundo lançamento:
  1. Duas faces 6:
    • Ganha R$ 50,00.
    • Lucro líquido: R$ 50,00 - R$ 5,00 = R$ 45,00.
  2. Uma face 6:
    • Recebe de volta os R$ 5,00.
    • Lucro líquido: R$ 5,00 - R$ 5,00 = R$ 0,00.
  3. Nenhum 6:
    • Perde R$ 5,00.
    • Lucro líquido: -R$ 5,00.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor esperado do lucro no segundo lançamento, que chamaremos de :

Passo 7

Agora, voltamos ao primeiro lançamento. Sabemos que nas faces 1 ou 2, o jogador tem direito a jogar novamente, cujo valor esperado é .
Vamos agora calcular o valor esperado total :
Substituindo :

Resposta

O valor esperado do lucro líquido do jogador é aproximadamente R$ -0,74.

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