Um jogador
paga
a
e lança um dado. Se sair face 3 , ganha
. Se sair faces 4,5 ou 6 , perde. Se sair faces 1 ou 2 , tem o direito de jogar novamente. Desta vez lança dois dados. Se sair duas faces 6 , ganha
. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro pago de volta. Nos demais casos, perde. Seja
o lucro líquido do jogador
nesse jogo.
Determinar:
b)
;
Determinar:
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido! Temos um jogo de probabilidade onde o jogador
paga R$ 5,00 para jogar. Dependendo do resultado do lançamento de um dado, ele pode ganhar ou perder dinheiro. Se sair 1 ou 2, ele joga de novo com duas dados, o que também pode resultar em ganhos ou perdas diferentes. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do lucro líquido do jogador
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados do primeiro lançamento do dado e suas probabilidades. Um dado tem 6 faces, então cada face tem uma probabilidade de
de sair.
- Face 3: O jogador ganha R$ 20,00.
- Faces 4, 5 ou 6: O jogador perde o valor pago, ou seja, perde R$ 5,00.
- Faces 1 ou 2: O jogador tem direito a jogar novamente com dois dados.
Passo 3
Vamos calcular o lucro líquido
para cada um desses casos:
-
Face 3:
- Ganha R$ 20,00.
- Lucro líquido: R$ 20,00 - R$ 5,00 = R$ 15,00.
-
Faces 4, 5 ou 6:
- Perde R$ 5,00.
- Lucro líquido: -R$ 5,00.
-
Faces 1 ou 2:
- Paga R$ 5,00 e joga novamente.
- Precisamos analisar os resultados desse segundo lançamento.
Passo 4
Agora, vamos detalhar o segundo lançamento com dois dados:
- Duas faces 6: O jogador ganha R$ 50,00.
- Uma face 6: O jogador recebe de volta os R$ 5,00 pagos inicialmente.
- Outros casos: O jogador perde R$ 5,00.
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses eventos.
- Probabilidade de duas faces 6: Como cada dado é independente, a probabilidade é
. - Probabilidade de uma face 6: Existem duas possibilidades: o primeiro dado é 6 e o segundo não, ou o primeiro não é 6 e o segundo é. Então,
. - Probabilidade de nenhum 6:
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o lucro líquido
para cada resultado do segundo lançamento:
-
Duas faces 6:
- Ganha R$ 50,00.
- Lucro líquido: R$ 50,00 - R$ 5,00 = R$ 45,00.
-
Uma face 6:
- Recebe de volta os R$ 5,00.
- Lucro líquido: R$ 5,00 - R$ 5,00 = R$ 0,00.
-
Nenhum 6:
- Perde R$ 5,00.
- Lucro líquido: -R$ 5,00.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado do lucro no segundo lançamento, que chamaremos de
:
Passo 7
Agora, voltamos ao primeiro lançamento. Sabemos que nas faces 1 ou 2, o jogador tem direito a jogar novamente, cujo valor esperado é
.
Vamos agora calcular o valor esperado total
:
Substituindo
:
Resposta
O valor esperado do lucro líquido do jogador
é aproximadamente R$ -0,74.
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.
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e
, em que
é o resultado que apareceu no
-ésimo dado. Calcule:
(a) .
(b) .
(a)
(b)
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. Um ruído consiste de uma série de vibrações de magnitude
, tendo os valores 2,0 e -2 com probabilidades
e
, respectivamente. Se ruídos e sinais são combinados de vibrações sincronizadas, a soma consiste de vibrações de magnitude
. Construir a função de probabilidade de
, calcular
e
, admitindo independência entre ruído e sinal.
assume os valores
, cada um com probabilidade
.