Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua interface se encontra no plano z=0. Para 0 <= z temos varepsilonr 1=4 e para z <= 0 temos varepsilonr 2=3. Um campo elétrico uniforme E1=5 x-2 y+3 z kV / m existe para 0 <= z. Determine: (a) o campo elétrico para z <= 0 e (b) os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois materiais isolantes (dielétricos) que estão lado a lado, com a interface no plano . Para , a permissividade relativa é e para , . Temos um campo elétrico uniforme kV/m para . Precisamos determinar:
a) O campo elétrico para .
b) Os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface.
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre como os campos elétricos se comportam na interface entre dois dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar o campo elétrico para E1paral<=l = E2paral<=l . Para isso, precisamos entender como os campos elétricos se comportam na interface entre dois materiais dielétricos.
Quando dois dielétricos estão em contato, a componente do campo elétrico paralelo à interface fica contínua, ou seja, não sofre descontinuidade. Já a componente perpendicular pode sofrer uma mudança proporcional à razão das permissividades relativas dos materiais.
Matematicamente, as condições de contorno para o campo elétrico são:
varepsilon1 E1perp = varepsilon2 E2perp
Aqui, e indicam as componentes paralela e perpendicular à interface, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, a interface está no plano E1 = 5,x - 2,y + 3,z,kV/m , então a componente paralela é na direção E1paral<=l = 5,x - 2,y e E1perp = 3,z , e a componente perpendicular é na direção .
Vamos separar o campo em componentes:
Portanto:

Passo 4

Como a componente paralela do campo elétrico é contínua, temos:
E2paral<=l = E1paral<=l = 5,x - 2,y
Agora, para a componente perpendicular, usamos a condição de contorno:
varepsilon1 E1perp = varepsilon2 E2perp
Sabendo que 4 cdot 3,z = 3 cdot E2perp e , podemos escrever:

Passo 5

Resolvendo para 12,z = 3 cdot E2perp :
E2perp = 12,z3 = 4,z,kV/m
E2 = E2paral<=l + E2perp = 5,x - 2,y + 4,z,kV/m
Então, o campo elétrico total em é a soma das componentes paralela e perpendicular:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): determinar os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface.
A interface está no plano tan theta = |Eparal<=l||Eperp| , então o ângulo que o campo faz com a interface é o ângulo que ele faz com a direção perpendicular ( ).
Para encontrar esse ângulo , usamos a relação:

Passo 7

Primeiro, calculamos para o meio 1:
|E1paral<=l| = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29
|E1perp| = 3
Então:
tan theta1 = raiz293
theta1 = arctan(raiz293) approx 40,9^circ

Passo 8

Agora, para o meio 2:
|E2paral<=l| = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29
|E2perp| = 4
Então:
tan theta2 = raiz294
theta2 = arctan(raiz294) approx 35,5^circ

Resposta

a) O campo elétrico para é kV/m.
b) Os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface são aproximadamente e , respectivamente.

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