Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua interface se encontra no plano
. Para
temos
e para
temos
. Um campo elétrico uniforme
existe para
. Determine: (a) o campo elétrico para
e (b) os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois materiais isolantes (dielétricos) que estão lado a lado, com a interface no plano
. Para
, a permissividade relativa é
e para
,
. Temos um campo elétrico uniforme
kV/m para
. Precisamos determinar:
a) O campo elétrico para
.
b) Os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface.
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre como os campos elétricos se comportam na interface entre dois dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): encontrar o campo elétrico para
. Para isso, precisamos entender como os campos elétricos se comportam na interface entre dois materiais dielétricos.
Quando dois dielétricos estão em contato, a componente do campo elétrico paralelo à interface fica contínua, ou seja, não sofre descontinuidade. Já a componente perpendicular pode sofrer uma mudança proporcional à razão das permissividades relativas dos materiais.
Matematicamente, as condições de contorno para o campo elétrico são:
Aqui,
e
indicam as componentes paralela e perpendicular à interface, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, a interface está no plano
, então a componente paralela é na direção
e
, e a componente perpendicular é na direção
.
Vamos separar o campo
em componentes:
Portanto:
Passo 4
Como a componente paralela do campo elétrico é contínua, temos:
Agora, para a componente perpendicular, usamos a condição de contorno:
Sabendo que
e
, podemos escrever:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, o campo elétrico total em
é a soma das componentes paralela e perpendicular:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): determinar os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface.
A interface está no plano
, então o ângulo que o campo faz com a interface é o ângulo que ele faz com a direção perpendicular (
).
Para encontrar esse ângulo
, usamos a relação:
Passo 7
Primeiro, calculamos para o meio 1:
Então:
Passo 8
Agora, para o meio 2:
Então:
Resposta
a) O campo elétrico para
é
kV/m.
b) Os ângulos que os campos nos meios 1 e 2 fazem com a interface são aproximadamente
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
A intensidade do campo elétrico em uma amostra de poliestireno (
), que preenche o espaço entre duas placas de um capacitor de placas paralelas, é
. A distancia entre as placas é de 1.5 mm . Calcule: (a) D, (b) P, © a densidade superficial de cargas livres nas placas, (d) a densidade superficial de cargas livres de polarização e (e) a diferença de potencial entre as placas.
Um cubo dielétrico de aresta
e centro na origem tem polarização radial dada por
, onde
é uma constante
. Determine todas as densidades de cargas ligadas e demonstre que a carga ligada total se anula.
No poliestireno
temos:
e
. Calcule o comprimento efetivo dos dipolos para um campo elétrico aplicado de
.
Uma aplicação pratica da eletrostática é na separação eletrostática de sólidos. Por exemplo, o minério de fosfato, que ao ser extraído é usualmente constituído por pequenos grãos de quartzo e de rocha de fosfato, pode ser separado em seus componentes aplicando um campo elétrico uniforme, tal como ilustrado ao lado. Supondo que a velocidade e deslocamento iniciais das partículas é zero, determine a separação entre elas após caírem 80 cm . Adote
e
para ambos os tipos de partículas.