Dois diferentes testes analíticos podem ser usados para determinar o nível de impureza em ligas de aço. Oito espécimes são testados usando ambos os procedimentos, sendo os resultados mostrados na tabela a seguir. Há evidência suficiente para concluir que ambos os testes fornecem o mesmo nível médio de impureza? Use
.
Espécime | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teste 1 | 1,2 | 1,3 | 1,5 | 1,4 | 1,7 | 1,8 | 1,4 | 1,3 |
Teste 2 | 1,4 | 1,7 | 1,5 | 1,3 | 2,0 | 2,1 | 1,7 | 1,6 |
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de estatística que quer saber se dois testes diferentes medem a mesma média de impurezas em ligas de aço. A gente vai usar o teste de hipóteses, especificamente o teste t para amostras pareadas, porque estamos comparando duas medições feitas nas mesmas 8 amostras. Vamos precisar calcular a diferença entre os testes, a média dessas diferenças, o desvio padrão e, por fim, comparar nosso resultado com um valor crítico para ver se as médias são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a diferença entre os resultados do Teste 2 e Teste 1 para cada espécime.
Espécime | Teste 1 | Teste 2 | Diferença (Teste 2 - Teste 1) |
---|---|---|---|
1 | 1,2 | 1,4 | 0,2 |
2 | 1,3 | 1,7 | 0,4 |
3 | 1,5 | 1,5 | 0,0 |
4 | 1,4 | 1,3 | -0,1 |
5 | 1,7 | 2,0 | 0,3 |
6 | 1,8 | 2,1 | 0,3 |
7 | 1,4 | 1,7 | 0,3 |
8 | 1,3 | 1,6 | 0,3 |
Passo 3
Agora, vamos calcular a média dessas diferenças. Somamos todas as diferenças e dividimos pelo número de espécimes.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o desvio padrão das diferenças. Primeiro, calculamos cada diferença menos a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de espécimes menos 1. Depois tiramos a raiz quadrada.
Passo 5
Vamos agora calcular o valor do t calculado usando a fórmula:
Onde:
-
(média das diferenças) -
(desvio padrão das diferenças) -
(número de espécimes)
Passo 6
Agora precisamos encontrar o valor crítico do t para um teste com nível de significância
e
graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para um teste bicaudal é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico. Aqui,
, então não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidência suficiente para concluir que os dois testes fornecem níveis médios diferentes de impureza no aço ao nível de significância de
.
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e
sejam eventos tais que
e
. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos
ou
ocorra.
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a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando
b) Qual a probabilidade
c) Se a diretoria tivesse fixado