Dois diferentes testes analíticos podem ser usados para determinar o nível de impureza em ligas de aço. Oito espécimes são testados usando ambos os procedimentos, sendo os resultados mostrados na tabela a seguir. Há evidência suficiente para concluir que ambos os testes fornecem o mesmo nível médio de impureza? Use alpha=0,01.
Espécime 1 2 3 4 5 6 7 8
Teste 1 1,2 1,3 1,5 1,4 1,7 1,8 1,4 1,3
Teste 2 1,4 1,7 1,5 1,3 2,0 2,1 1,7 1,6

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de estatística que quer saber se dois testes diferentes medem a mesma média de impurezas em ligas de aço. A gente vai usar o teste de hipóteses, especificamente o teste t para amostras pareadas, porque estamos comparando duas medições feitas nas mesmas 8 amostras. Vamos precisar calcular a diferença entre os testes, a média dessas diferenças, o desvio padrão e, por fim, comparar nosso resultado com um valor crítico para ver se as médias são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os resultados do Teste 2 e Teste 1 para cada espécime.
Espécime Teste 1 Teste 2 Diferença (Teste 2 - Teste 1)
1 1,2 1,4 0,2
2 1,3 1,7 0,4
3 1,5 1,5 0,0
4 1,4 1,3 -0,1
5 1,7 2,0 0,3
6 1,8 2,1 0,3
7 1,4 1,7 0,3
8 1,3 1,6 0,3

Passo 3

Agora, vamos calcular a média dessas diferenças. Somamos todas as diferenças e dividimos pelo número de espécimes.
Média = 0,2 + 0,4 + 0,0 - 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,38 = 1,48 = 0,175 é

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o desvio padrão das diferenças. Primeiro, calculamos cada diferença menos a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos pelo número de espécimes menos 1. Depois tiramos a raiz quadrada.
Desvio^2 &= (0,2-0,175)^2 + (0,4-0,175)^2 + (0,0-0,175)^2 + (-0,1-0,175)^2 & + (0,3-0,175)^2 + (0,3-0,175)^2 + (0,3-0,175)^2 + (0,3-0,175)^27 &= (0,025)^2 + (0,225)^2 + (-0,175)^2 + (-0,275)^2 + (0,125)^2 times 47 &= 0,000625 + 0,050625 + 0,030625 + 0,075625 + 0,015625 times 47 &= 0,000625 + 0,050625 + 0,030625 + 0,075625 + 0,06257 &= 0,2197 approx 0,0313 ã

Passo 5

Vamos agora calcular o valor do t calculado usando a fórmula:
t = bardsd / raizn
Onde:
  • t = 0,1750,177 / raiz8 approx 0,1750,0626 approx 2,80 (média das diferenças)
  • (desvio padrão das diferenças)
  • (número de espécimes)

Passo 6

Agora precisamos encontrar o valor crítico do t para um teste com nível de significância e graus de liberdade. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para um teste bicaudal é aproximadamente í.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico. Aqui, , então não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para concluir que os dois testes fornecem níveis médios diferentes de impureza no aço ao nível de significância de .

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