(Problema 6) Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se que
onde
representa o consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando
, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria.
b) Qual a probabilidade
de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for
?
c) Se a diretoria tivesse fixado
, a decisão seria a mesma? (Justifique sua resposta.)
a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando
b) Qual a probabilidade
c) Se a diretoria tivesse fixado
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um problema de Teste de Hipóteses dentro da Estatística, mais especificamente usando a distribuição normal. A empresa quer saber se a média do consumo mensal por pessoa de um produto é menor que 8 kg. Para isso, fizeram uma pesquisa com 25 pessoas e a soma dos consumos foi 180 kg. Vamos precisar usar a média amostral, o desvio padrão conhecido e a distribuição normal para testar a hipótese com um nível de significância
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
- Desvio padrão (
): 2 kg - Tamanho da amostra (
): 25 - Soma dos consumos (
): 180 kg
Vamos calcular a média amostral (
):
Passo 3
Agora, vamos definir as hipóteses para o teste:
- Hipótese Nula (
): A média populacional é igual ou maior que 8 kg. - Hipótese Alternativa (
): A média populacional é menor que 8 kg.
Isso é um teste unilateral, já que estamos verificando se a média é menor que um valor específico.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média (
):
Passo 5
Em seguida, calculamos o estatístico de teste (
):
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor crítico para
em um teste unilateral à esquerda. Consultando uma tabela de distribuição normal padrão, encontramos que o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 7
Comparando o estatístico de teste com o valor crítico:
Como
calculado está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Portanto, com base na amostra coletada e com nível de significância de 5%, devemos retirar o produto da linha de produção.
Passo 9
Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a probabilidade
de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar
quando na verdade a média populacional é
kg.
Passo 10
Primeiro, encontramos o valor crítico em termos de
kg. Usamos o mesmo valor crítico
.
Calculamos o valor correspondente de
:
Passo 11
Agora, queremos a probabilidade de
kg quando
kg. Calculamos o z correspondente:
Passo 12
A probabilidade
é a área à direita de
na distribuição normal padrão. Isso corresponde a:
Passo 13
Portanto, a probabilidade de cometer um erro tipo II é de 95%.
Passo 14
Finalmente, vamos para a parte c). Se a diretoria tivesse fixado
, será que a decisão seria a mesma?
Passo 15
Com
, o valor crítico para um teste unilateral à esquerda é aproximadamente
.
Passo 16
Comparando com o estatístico de teste calculado anteriormente (
):
Neste caso,
não está na região de rejeição.
Passo 17
Assim, com um nível de significância de 1%, não rejeitaríamos a hipótese nula.
Resposta
Se
, como o valor de
não excede o crítico de
, a diretoria não retiraria o produto da linha de produção. A decisão seria manter a produção.