(Problema 6) Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se que onde representa o consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando , e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria.
b) Qual a probabilidade de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for ?
c) Se a diretoria tivesse fixado , a decisão seria a mesma? (Justifique sua resposta.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um problema de Teste de Hipóteses dentro da Estatística, mais especificamente usando a distribuição normal. A empresa quer saber se a média do consumo mensal por pessoa de um produto é menor que 8 kg. Para isso, fizeram uma pesquisa com 25 pessoas e a soma dos consumos foi 180 kg. Vamos precisar usar a média amostral, o desvio padrão conhecido e a distribuição normal para testar a hipótese com um nível de significância .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Desvio padrão ( ): 2 kg
  • Tamanho da amostra ( ): 25
  • Soma dos consumos ( ): 180 kg
Vamos calcular a média amostral ( ):

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( ): A média populacional é igual ou maior que 8 kg.
  • Hipótese Alternativa ( ): A média populacional é menor que 8 kg.
Isso é um teste unilateral, já que estamos verificando se a média é menor que um valor específico.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média ( ):

Passo 5

Em seguida, calculamos o estatístico de teste ( ):

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico para em um teste unilateral à esquerda. Consultando uma tabela de distribuição normal padrão, encontramos que o valor crítico é aproximadamente í.

Passo 7

Comparando o estatístico de teste com o valor crítico:
Como calculado está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Portanto, com base na amostra coletada e com nível de significância de 5%, devemos retirar o produto da linha de produção.

Passo 9

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a probabilidade de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar quando na verdade a média populacional é kg.

Passo 10

Primeiro, encontramos o valor crítico em termos de kg. Usamos o mesmo valor crítico í.
Calculamos o valor correspondente de :
íí

Passo 11

Agora, queremos a probabilidade de kg quando kg. Calculamos o z correspondente:

Passo 12

A probabilidade é a área à direita de na distribuição normal padrão. Isso corresponde a:

Passo 13

Portanto, a probabilidade de cometer um erro tipo II é de 95%.

Passo 14

Finalmente, vamos para a parte c). Se a diretoria tivesse fixado , será que a decisão seria a mesma?

Passo 15

Com , o valor crítico para um teste unilateral à esquerda é aproximadamente í.

Passo 16

Comparando com o estatístico de teste calculado anteriormente ( ):
Neste caso, não está na região de rejeição.

Passo 17

Assim, com um nível de significância de 1%, não rejeitaríamos a hipótese nula.

Resposta

Se , como o valor de não excede o crítico de , a diretoria não retiraria o produto da linha de produção. A decisão seria manter a produção.

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Espécime 1 2 3 4 5 6 7 8
Teste 1 1,2 1,3 1,5 1,4 1,7 1,8 1,4 1,3
Teste 2 1,4 1,7 1,5 1,3 2,0 2,1 1,7 1,6
Se e são eventos mutuamente exclusivos tal que e , calcule:
c)
Se e são eventos mutuamente exclusivos tal que e , calcule:
d)