(Problema 6) Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se que sum1=1^25 Xi=180 kg onde Xi representa o consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando alpha=0,05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria.
b) Qual a probabilidade beta de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for mu=7,8 kg?
c) Se a diretoria tivesse fixado alpha=0,01, a decisão seria a mesma? (Justifique sua resposta.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um problema de Teste de Hipóteses dentro da Estatística, mais especificamente usando a distribuição normal. A empresa quer saber se a média do consumo mensal por pessoa de um produto é menor que 8 kg. Para isso, fizeram uma pesquisa com 25 pessoas e a soma dos consumos foi 180 kg. Vamos precisar usar a média amostral, o desvio padrão conhecido e a distribuição normal para testar a hipótese com um nível de significância alpha=0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Desvio padrão ( sigma): 2 kg
  • Tamanho da amostra ( n): 25
  • Soma dos consumos ( sum Xi): 180 kg
Vamos calcular a média amostral ( barX):
barX = sum Xin = 18025 = 7,2 kg

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( H0): A média populacional é igual ou maior que 8 kg. H0: mu >= 8 kg
  • Hipótese Alternativa ( H1): A média populacional é menor que 8 kg. H1: mu < 8 kg
Isso é um teste unilateral, já que estamos verificando se a média é menor que um valor específico.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média ( SE):
SE = sigmaraizn = 2raiz25 = 25 = 0,4 kg

Passo 5

Em seguida, calculamos o estatístico de teste ( z):
z = barX - mu0SE = 7,2 - 80,4 = -0,80,4 = -2

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico para alpha=0,05 em um teste unilateral à esquerda. Consultando uma tabela de distribuição normal padrão, encontramos que o valor crítico é aproximadamente zcrítico = -1,645í.

Passo 7

Comparando o estatístico de teste com o valor crítico:
-2 < -1,645
Como z calculado está na região de rejeição, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Portanto, com base na amostra coletada e com nível de significância de 5%, devemos retirar o produto da linha de produção.

Passo 9

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a probabilidade beta de cometer um erro tipo II, ou seja, de não rejeitar H0 quando na verdade a média populacional é mu=7,8 kg.

Passo 10

Primeiro, encontramos o valor crítico em termos de mu=7,8 kg. Usamos o mesmo valor crítico zcrítico = -1,645í.
Calculamos o valor correspondente de barX:
barXcrítico = mu + zcrítico times SE = 7,8 + (-1,645) times 0,4 = 7,8 - 0,658 = 7,142 kg íí

Passo 11

Agora, queremos a probabilidade de barX > 7,142 kg quando mu=7,8 kg. Calculamos o z correspondente:
z = 7,142 - 7,80,4 = -0,6580,4 = -1,645

Passo 12

A probabilidade beta é a área à direita de z=-1,645 na distribuição normal padrão. Isso corresponde a:
beta = P(Z > -1,645) = 1 - P(Z < -1,645) = 1 - 0,05 = 0,95

Passo 13

Portanto, a probabilidade de cometer um erro tipo II é de 95%.

Passo 14

Finalmente, vamos para a parte c). Se a diretoria tivesse fixado alpha=0,01, será que a decisão seria a mesma?

Passo 15

Com alpha=0,01, o valor crítico para um teste unilateral à esquerda é aproximadamente zcrítico = -2,33í.

Passo 16

Comparando com o estatístico de teste calculado anteriormente ( z = -2):
-2 > -2,33
Neste caso, z não está na região de rejeição.

Passo 17

Assim, com um nível de significância de 1%, não rejeitaríamos a hipótese nula.

Resposta

Se alpha=0,01, como o valor de z=-2 não excede o crítico de -2,33, a diretoria não retiraria o produto da linha de produção. A decisão seria manter a produção.

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