(Problema 21) Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção de consumidores de um certo produto. Se a amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o dado produto, determine
a) o intervalo de confiança para
, com coeficiente de confiança de
(interprete o resultado);
b) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades com probabilidade de
(interprete o resultado).
a) o intervalo de confiança para
b) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades com probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre estatística, especificamente sobre estimar proporções e intervalos de confiança. A gente quer descobrir duas coisas aqui: primeiro, qual é o intervalo de confiança para a proporção de consumidores de um produto com 95% de certeza; e segundo, qual o tamanho da amostra necessário para que o erro nessa estimativa não passe de 0,02 unidades, também com 95% de confiança. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de intervalo de confiança e de cálculo de tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção de consumidores na amostra. Temos 300 pessoas na amostra e 100 delas consomem o produto. A proporção amostral, que chamamos de
, é:
Passo 3
Agora, para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a proporção amostral (0,3333), -
é o valor crítico correspondente ao nível de confiança (para 95%, ), -
é o tamanho da amostra (300).
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão:
Passo 5
Multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico
:
Passo 6
Agora, construímos o intervalo de confiança:
Então:
- Limite inferior:
- Limite superior:
Passo 7
Interpretando o resultado: Estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção de consumidores do produto está entre 28% e 38,66%.
Passo 8
Agora, vamos para a parte b). Queremos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimativa não exceda 0,02 unidades, com 95% de confiança. Usamos a fórmula:
Onde:
-
para 95% de confiança, -
, -
é o erro máximo permitido.
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
a) O intervalo de confiança para a proporção
com 95% de confiança é entre 28% e 38,66%.
b) Para que o erro da estimativa não exceda 0,02 unidades com 95% de confiança, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 2.134 pessoas.
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Dois diferentes testes analíticos podem ser usados para determinar o nível de impureza em ligas de aço. Oito espécimes são testados usando ambos os procedimentos, sendo os resultados mostrados na tabela a seguir. Há evidência suficiente para concluir que ambos os testes fornecem o mesmo nível médio de impureza? Use
.
Espécime | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teste 1 | 1,2 | 1,3 | 1,5 | 1,4 | 1,7 | 1,8 | 1,4 | 1,3 |
Teste 2 | 1,4 | 1,7 | 1,5 | 1,3 | 2,0 | 2,1 | 1,7 | 1,6 |
Suponha que
e
sejam eventos tais que
e
. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos
ou
ocorra.
(Problema 6) Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 kg. A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se que
onde
representa o consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando , e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria.
b) Qual a probabilidade de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional for
?
c) Se a diretoria tivesse fixado , a decisão seria a mesma? (Justifique sua resposta.)
a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando
b) Qual a probabilidade
c) Se a diretoria tivesse fixado
Se
e
são eventos mutuamente exclusivos tal que
e
, calcule:
c)
c)