(Problema 21) Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção de consumidores de um certo produto. Se a amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o dado produto, determine
a) o intervalo de confiança para p, com coeficiente de confiança de 95 % (interprete o resultado);
b) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades com probabilidade de 95 % (interprete o resultado).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre estatística, especificamente sobre estimar proporções e intervalos de confiança. A gente quer descobrir duas coisas aqui: primeiro, qual é o intervalo de confiança para a proporção de consumidores de um produto com 95% de certeza; e segundo, qual o tamanho da amostra necessário para que o erro nessa estimativa não passe de 0,02 unidades, também com 95% de confiança. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de intervalo de confiança e de cálculo de tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção de consumidores na amostra. Temos 300 pessoas na amostra e 100 delas consomem o produto. A proporção amostral, que chamamos de p, é:
p = 100300 = 0,3333

Passo 3

Agora, para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a fórmula:
p pm z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção amostral (0,3333),
  • z é o valor crítico correspondente ao nível de confiança (para 95%, z approx 1,96),
  • n é o tamanho da amostra (300).

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão:
raiz0,3333 times (1 - 0,3333)300 = raiz0,3333 times 0,6667300 = raiz0,2222300 approx raiz0,0007407 approx 0,0272

Passo 5

Multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico z:
1,96 times 0,0272 approx 0,0533

Passo 6

Agora, construímos o intervalo de confiança:
0,3333 pm 0,0533
Então:
  • Limite inferior: 0,3333 - 0,0533 = 0,28
  • Limite superior: 0,3333 + 0,0533 = 0,3866

Passo 7

Interpretando o resultado: Estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção de consumidores do produto está entre 28% e 38,66%.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimativa não exceda 0,02 unidades, com 95% de confiança. Usamos a fórmula:
n = ( z^2 times p times (1 - p)E^2 )
Onde:
  • z = 1,96 para 95% de confiança,
  • p = 0,3333,
  • E = 0,02 é o erro máximo permitido.

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 times 0,3333 times 0,66670,02^2 ) = ( 3,8416 times 0,22220,0004 ) = ( 0,85360,0004 ) approx 2134

Resposta

a) O intervalo de confiança para a proporção p com 95% de confiança é entre 28% e 38,66%.
b) Para que o erro da estimativa não exceda 0,02 unidades com 95% de confiança, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 2.134 pessoas.

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