(Problema 21) Suponha que estejamos interessados em estimar a proporção de consumidores de um certo produto. Se a amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o dado produto, determine
a) o intervalo de confiança para , com coeficiente de confiança de (interprete o resultado);
b) o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,02 unidades com probabilidade de (interprete o resultado).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre estatística, especificamente sobre estimar proporções e intervalos de confiança. A gente quer descobrir duas coisas aqui: primeiro, qual é o intervalo de confiança para a proporção de consumidores de um produto com 95% de certeza; e segundo, qual o tamanho da amostra necessário para que o erro nessa estimativa não passe de 0,02 unidades, também com 95% de confiança. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de intervalo de confiança e de cálculo de tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção de consumidores na amostra. Temos 300 pessoas na amostra e 100 delas consomem o produto. A proporção amostral, que chamamos de , é:

Passo 3

Agora, para construir o intervalo de confiança de 95%, usamos a fórmula:
Onde:
  • é a proporção amostral (0,3333),
  • é o valor crítico correspondente ao nível de confiança (para 95%, ),
  • é o tamanho da amostra (300).

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão:

Passo 5

Multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico :

Passo 6

Agora, construímos o intervalo de confiança:
Então:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:

Passo 7

Interpretando o resultado: Estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção de consumidores do produto está entre 28% e 38,66%.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos descobrir qual o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimativa não exceda 0,02 unidades, com 95% de confiança. Usamos a fórmula:
Onde:
  • para 95% de confiança,
  • ,
  • é o erro máximo permitido.

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:

Resposta

a) O intervalo de confiança para a proporção com 95% de confiança é entre 28% e 38,66%.
b) Para que o erro da estimativa não exceda 0,02 unidades com 95% de confiança, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 2.134 pessoas.

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