Uma máquina automática que empacota o alimento A é programada para colocar 100 g de peso. Para verificar a precisão da máquina, uma amostra de 60 pacotes do referido alimento fornece peso médio de 98 g e desvio padrão de 6 g. O que se pode concluir ao nível de ?

Passo 1

Então, a gente tem uma máquina que deve empacotar 100 g de alimento A. Para checar se ela tá fazendo isso direitinho, foi pesado uma amostra de 60 pacotes e a média foi de 98 g, com um desvio padrão de 6 g. Vamos usar estatística inferencial, mais especificamente um teste de hipóteses para médias, para ver se essa diferença de peso é significativa ao nível de 1%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média do peso dos pacotes é igual a 100 g. Ou seja, H₀: μ = 100 g.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média do peso dos pacotes é diferente de 100 g. Ou seja, H₁: μ ≠ 100 g.

Passo 3

Como temos uma amostra grande (n = 60), podemos usar o teste z para comparar a média amostral com a média hipotética. A fórmula do teste z é:
Onde:
  • é a média amostral (98 g),
  • é a média hipotética (100 g),
  • é o desvio padrão (6 g),
  • é o tamanho da amostra (60).

Passo 4

Vamos calcular o valor de z:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 1% em um teste bilateral. Procurando na tabela z, para 1% de nível de significância, os valores críticos são aproximadamente -2.576 e 2.576.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
  • Nosso z calculado é -2.583, que é menor que -2.576.
  • Isso significa que nosso valor de z está na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Assim, ao nível de 1%, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há evidências suficientes para afirmar que a máquina não está empacotando exatamente 100 g como programado.

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Se e são eventos mutuamente exclusivos tal que e , calcule:
a)
(Problema 20) Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de .
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para a proporção . Utilize .
Suponha que e sejam eventos tais que e . Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos ou ocorra.
Dois diferentes testes analíticos podem ser usados para determinar o nível de impureza em ligas de aço. Oito espécimes são testados usando ambos os procedimentos, sendo os resultados mostrados na tabela a seguir. Há evidência suficiente para concluir que ambos os testes fornecem o mesmo nível médio de impureza? Use .
Espécime 1 2 3 4 5 6 7 8
Teste 1 1,2 1,3 1,5 1,4 1,7 1,8 1,4 1,3
Teste 2 1,4 1,7 1,5 1,3 2,0 2,1 1,7 1,6