Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante igual a
.
Utilize a definição acima para determinar a Equação Reduzida de uma Elipse de centro na origem do sistema, com eixo maior sobre o eixo
. Esboce a curva definindo os elementos característicos. (Obs.: Seja
um ponto qualquer da Elipse de focos
e
.
Utilize a definição acima para determinar a Equação Reduzida de uma Elipse de centro na origem do sistema, com eixo maior sobre o eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma definição de elipse que diz que é o conjunto de todos os pontos no plano cuja soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante, igual a
. Nosso objetivo aqui é usar essa definição para encontrar a equação reduzida de uma elipse que está centralizada na origem (0,0) e cujo eixo maior está alinhado com o eixo
. Além disso, vamos desenhar o esboço da elipse destacando seus elementos principais. Para isso, vamos precisar entender como essa definição se traduz em uma equação matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da definição. Temos dois focos da elipse, que estão nos pontos
e
. O ponto qualquer na elipse é
. Segundo a definição, a soma das distâncias de
aos focos é constante e igual a
. Vamos chamar essa constante de
, onde
representa o semi-eixo maior da elipse.
Passo 3
Agora, vamos escrever matematicamente a condição dada. A distância de
a
é
e a distância a
é
. Segundo a definição da elipse:
Passo 4
Para simplificar essa equação e eliminar as raízes quadradas, vamos seguir um processo algébrico. Primeiro, isolamos uma das raízes:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
Simplificando os termos:
Isso reduz a:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 5
Agora, vamos isolar a raiz quadrada novamente:
Dividindo ambos os lados por
:
Elevamos novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Passo 6
Vamos reunir todos os termos e simplificar a equação:
Observamos que o termo
se cancela dos dois lados:
Agora, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar o denominador:
Reorganizando:
Fatorando
:
Passo 7
Dividimos todos os termos por
para obter a equação padrão da elipse:
Aqui, identificamos que
, onde
é o semi-eixo menor da elipse.
Passo 8
Agora que temos a equação reduzida da elipse:
Podemos desenhar o esboço da elipse com centro na origem, eixo maior ao longo do eixo
, com comprimento total
e eixo menor com comprimento total
. Os focos estão localizados nos pontos
e
, onde
.
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
onde
, com
sendo o semi-eixo maior e
a distância dos focos à origem.