Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante igual a 2 a^prime prime.
Utilize a definição acima para determinar a Equação Reduzida de uma Elipse de centro na origem do sistema, com eixo maior sobre o eixo O x. Esboce a curva definindo os elementos característicos. (Obs.: Seja P(x, y) um ponto qualquer da Elipse de focos F1(-c, 0) e F2(c, 0)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma definição de elipse que diz que é o conjunto de todos os pontos no plano cuja soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante, igual a 2a''. Nosso objetivo aqui é usar essa definição para encontrar a equação reduzida de uma elipse que está centralizada na origem (0,0) e cujo eixo maior está alinhado com o eixo Ox. Além disso, vamos desenhar o esboço da elipse destacando seus elementos principais. Para isso, vamos precisar entender como essa definição se traduz em uma equação matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da definição. Temos dois focos da elipse, que estão nos pontos F1(-c, 0) e F2(c, 0). O ponto qualquer na elipse é P(x, y). Segundo a definição, a soma das distâncias de P aos focos é constante e igual a 2a''. Vamos chamar essa constante de 2a, onde a representa o semi-eixo maior da elipse.

Passo 3

Agora, vamos escrever matematicamente a condição dada. A distância de P(x, y) a F1(-c, 0) é raiz(x + c)^2 + y^2 e a distância a F2(c, 0) é raiz(x - c)^2 + y^2. Segundo a definição da elipse:
raiz(x + c)^2 + y^2 + raiz(x - c)^2 + y^2 = 2a

Passo 4

Para simplificar essa equação e eliminar as raízes quadradas, vamos seguir um processo algébrico. Primeiro, isolamos uma das raízes:
raiz(x + c)^2 + y^2 = 2a - raiz(x - c)^2 + y^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para remover a raiz:
(x + c)^2 + y^2 = (2a)^2 - 4araiz(x - c)^2 + y^2 + (x - c)^2 + y^2
Simplificando os termos:
(x + c)^2 + y^2 - (x - c)^2 - y^2 = 4a^2 - 4araiz(x - c)^2 + y^2
Isso reduz a:
4xc = 4a^2 - 4araiz(x - c)^2 + y^2
Dividindo ambos os lados por 4:
xc = a^2 - araiz(x - c)^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos isolar a raiz quadrada novamente:
araiz(x - c)^2 + y^2 = a^2 - xc
Dividindo ambos os lados por a:
raiz(x - c)^2 + y^2 = a - xca
Elevamos novamente ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - c)^2 + y^2 = (a - xca)^2
Expandindo o lado direito:
(x - c)^2 + y^2 = a^2 - 2xc + x^2c^2a^2

Passo 6

Vamos reunir todos os termos e simplificar a equação:
x^2 - 2xc + c^2 + y^2 = a^2 - 2xc + x^2c^2a^2
Observamos que o termo -2xc se cancela dos dois lados:
x^2 + c^2 + y^2 = a^2 + x^2c^2a^2
Agora, vamos multiplicar todos os termos por a^2 para eliminar o denominador:
a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 = a^4 + x^2c^2
Reorganizando:
a^2x^2 - x^2c^2 + a^2y^2 = a^4 - a^2c^2
Fatorando x^2:
x^2(a^2 - c^2) + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)

Passo 7

Dividimos todos os termos por a^2(a^2 - c^2) para obter a equação padrão da elipse:
x^2a^2 + y^2a^2 - c^2 = 1
Aqui, identificamos que b^2 = a^2 - c^2, onde b é o semi-eixo menor da elipse.

Passo 8

Agora que temos a equação reduzida da elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Podemos desenhar o esboço da elipse com centro na origem, eixo maior ao longo do eixo Ox, com comprimento total 2a e eixo menor com comprimento total 2b. Os focos estão localizados nos pontos (-c, 0) e (c, 0), onde c = raiza^2 - b^2.

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
onde b = raiza^2 - c^2, com a sendo o semi-eixo maior e c a distância dos focos à origem.

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