Mostre que, quando a gg L, o módulo dessa força se reduz a F=Q^2 / 4 pi varepsilon0 a^2. (Dica: use o desenvolvimento em série ln (1+z)= z-z^22!+z^33! ldots, válido para |z| ll 1. Faça todos os desenvolvimentos até pelo menos o termo L^2 / a^2.) Interprete esse resultado.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que, quando a distância é muito maior que ( ), a força elétrica se aproxima de . A matéria envolvida aqui é eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e expansões em série. Vamos precisar usar a série de Taylor para desenvolver o logaritmo e considerar termos até .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
F = Q^24 pi varepsilon0 r^2
onde é a carga, é a permissividade do vácuo, e é a distância entre as cargas.
No nosso caso, o problema sugere que há uma configuração onde é muito maior que . Isso significa que podemos tratar como um pequeno parâmetro, permitindo o uso de uma expansão em série.

Passo 3

A dica do enunciado nos pede para usar o desenvolvimento em série de Taylor para ln(1 + z) = z - z^22 + z^33 - dots , que é válido para ln(1 + La) = La - 12(La)^2 + 13(La)^3 - dots :
ln(1 + La) approx La - 12(La)^2
Como , podemos definir , que é um número pequeno. Então, substituímos na série:
Como queremos até , podemos truncar a série após o segundo termo:

Passo 4

Agora, vamos supor que a força F approx Q^24 pi varepsilon0 a^2 (1 + La)^2 depende de (1 + La)^2 = 1 + 2La + (La)^2 . Substituindo a aproximação da série, temos:
F approx Q^24 pi varepsilon0 a^2
Expandindo :
Mas como , os termos com e são muito pequenos e podem ser desprezados para simplificação, ficando:

Resposta

Quando , o módulo da força elétrica se reduz a . Isso mostra que, para distâncias muito grandes em relação ao tamanho , a força se comporta como a força entre cargas pontuais, conforme a Lei de Coulomb.

Exercícios relacionados