Mostre que, quando
, o módulo dessa força se reduz a
. (Dica: use o desenvolvimento em série
, válido para
. Faça todos os desenvolvimentos até pelo menos o termo
.) Interprete esse resultado.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que, quando a distância
é muito maior que
(
), a força elétrica
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e expansões em série. Vamos precisar usar a série de Taylor para desenvolver o logaritmo e considerar termos até
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
onde
é a carga,
é a permissividade do vácuo, e
é a distância entre as cargas.
No nosso caso, o problema sugere que há uma configuração onde
é muito maior que
. Isso significa que podemos tratar
como um pequeno parâmetro, permitindo o uso de uma expansão em série.
Passo 3
A dica do enunciado nos pede para usar o desenvolvimento em série de Taylor para
, que é válido para
:
Como
, podemos definir
, que é um número pequeno. Então, substituímos
na série:
Como queremos até
, podemos truncar a série após o segundo termo:
Passo 4
Agora, vamos supor que a força
depende de
. Substituindo a aproximação da série, temos:
Expandindo
:
Mas como
, os termos com
e
são muito pequenos e podem ser desprezados para simplificação, ficando:
Resposta
Quando
, o módulo da força elétrica se reduz a
. Isso mostra que, para distâncias muito grandes em relação ao tamanho
, a força se comporta como a força entre cargas pontuais, conforme a Lei de Coulomb.