Mostre que, quando , o módulo dessa força se reduz a . (Dica: use o desenvolvimento em série , válido para . Faça todos os desenvolvimentos até pelo menos o termo .) Interprete esse resultado.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que, quando a distância é muito maior que ( ), a força elétrica se aproxima de . A matéria envolvida aqui é eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e expansões em série. Vamos precisar usar a série de Taylor para desenvolver o logaritmo e considerar termos até .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
onde é a carga, é a permissividade do vácuo, e é a distância entre as cargas.
No nosso caso, o problema sugere que há uma configuração onde é muito maior que . Isso significa que podemos tratar como um pequeno parâmetro, permitindo o uso de uma expansão em série.

Passo 3

A dica do enunciado nos pede para usar o desenvolvimento em série de Taylor para , que é válido para :
Como , podemos definir , que é um número pequeno. Então, substituímos na série:
Como queremos até , podemos truncar a série após o segundo termo:

Passo 4

Agora, vamos supor que a força depende de . Substituindo a aproximação da série, temos:
Expandindo :
Mas como , os termos com e são muito pequenos e podem ser desprezados para simplificação, ficando:

Resposta

Quando , o módulo da força elétrica se reduz a . Isso mostra que, para distâncias muito grandes em relação ao tamanho , a força se comporta como a força entre cargas pontuais, conforme a Lei de Coulomb.

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Em seguida, é executado o seguinte procedimento: e são ligadas por um fio fino, que depois é removido; é ligada à terra pelo fio, que depois é removido; e são ligadas pelo fio, que depois é removido. Determine o novo valor (b) do módulo da força eletrostática entre as esferas e ;
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