Mostre que, quando
, o módulo dessa força se reduz a
. (Dica: use o desenvolvimento em série
, válido para
. Faça todos os desenvolvimentos até pelo menos o termo
.) Interprete esse resultado.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que, quando a distância
é muito maior que
(
), a força elétrica
se aproxima de
. A matéria envolvida aqui é eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e expansões em série. Vamos precisar usar a série de Taylor para desenvolver o logaritmo e considerar termos até
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
onde
é a carga,
é a permissividade do vácuo, e
é a distância entre as cargas.
No nosso caso, o problema sugere que há uma configuração onde
é muito maior que
. Isso significa que podemos tratar
como um pequeno parâmetro, permitindo o uso de uma expansão em série.
Passo 3
A dica do enunciado nos pede para usar o desenvolvimento em série de Taylor para
, que é válido para
:
Como
, podemos definir
, que é um número pequeno. Então, substituímos
na série:
Como queremos até
, podemos truncar a série após o segundo termo:
Passo 4
Agora, vamos supor que a força
depende de
. Substituindo a aproximação da série, temos:
Expandindo
:
Mas como
, os termos com
e
são muito pequenos e podem ser desprezados para simplificação, ficando:
Resposta
Quando
, o módulo da força elétrica se reduz a
. Isso mostra que, para distâncias muito grandes em relação ao tamanho
, a força se comporta como a força entre cargas pontuais, conforme a Lei de Coulomb.
Exercícios relacionados
Três partículas carregadas estão sobre um eixo
. As partículas 1 e 2 são mantidas fixas. A partícula 3 está livre para se mover, mas a força eletrostática resultante exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 é zero. Se
, qual é o valor da razão
?
Em seguida, é executado o seguinte procedimento:
e
são ligadas por um fio fino, que depois é removido;
é ligada à terra pelo fio, que depois é removido;
e
são ligadas pelo fio, que depois é removido. Determine o novo valor (b) do módulo da força eletrostática entre as esferas
e
;
Dois discos de mesma massa e raios diferentes (
e
gram em torno de um eixo sem atrito, com a mesma rapidez angular
mas em sentidos opostos (Figura 10-49). Os dois discos são lentamente aproximados. A força de atrito entre as superfícies faz com que eles passem a ter a mesma velocidade angular. (a) Qual é a magnitude valocidade angular final, em termos de
? (b) Qual a variação da energia cinética de rotação do sistema? Explique.
!(https://image-url)
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Uma bobina de 120 espiras, com
de raio e uma resistência de
, é coaxial com um solenoide de 220 espiras/cm e
de diâmetro. A corrente no solenoide diminui de 1,5 A para zero em um intervalo de tempo
. Qual é a corrente induzida na bobina no intervalo
?
Resposta: 30 mA
Resposta: 30 mA