Dois discos planos paralelos verticais com 5 in de diâmetro cada um, estão trocando energia por radiação. A temperatura da superfície do disco do lado direito é 500^circ F e a temperatura do disco do lado esquerdo é 210^circ F.
Determine:
b) A troca de energia por radiação se as superfícies forem corpos cinzas, onde a emissividade do disco do lado direito é 0,6 e a emissividade do lado esquerdo é 0,3.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois discos planos verticais, cada um com um diâmetro de 5 pés, que estão trocando energia por radiação. As temperaturas das superfícies são para o disco da direita e para o disco da esquerda. Queremos determinar a troca de energia por radiação quando as superfícies são corpos cinzas, ou seja, considerando emissividades diferentes: 0,6 para o disco da direita e 0,3 para o da esquerda.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Converter as temperaturas de Fahrenheit para Kelvin, pois as equações de radiação utilizam a temperatura em Kelvin.
  2. Calcular a área dos discos.
  3. Aplicar a Lei de Stefan-Boltzmann ajustada para corpos cinzas e considerar o fator de forma (view factor) entre os discos.

Passo 2

Vamos começar convertendo as temperaturas de Fahrenheit para Kelvin. As equações de radiação utilizam a temperatura em Kelvin ( T(K) = (T(°F) - 32) times 59 + 273,15 ), então é essencial fazer essa conversão.
A fórmula para converter Fahrenheit para Kelvin é:
Tdireita(K) = (500 - 32) times 59 + 273,15 approx 533,15 , K
Para o disco da direita ( Tesquerda(K) = (210 - 32) times 59 + 273,15 approx 333,15 , K ):
Para o disco da esquerda ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular a área dos discos. Sabemos que o diâmetro de cada disco é de 5 pés. Primeiro, vamos converter esse diâmetro para metros, já que a constante de Stefan-Boltzmann ( D = 5 , ft times 0,3048 , mft = 1,524 , m ) está em unidades do SI ( r = D2 = 1,5242 = 0,762 , m ²).
Sabendo que 1 pé = 0,3048 metros:
A = pi r^2 = pi times (0,762)^2 approx 1,826 , m^2
O raio ( ) é metade do diâmetro:
A área ( ) de um disco é dada por:

Passo 4

Vamos agora aplicar a Lei de Stefan-Boltzmann para corpos cinzas. A troca de energia por radiação entre dois corpos cinzas é dada por:
q = sigma times A times epsilon1 epsilon21 - (1 - epsilon1)(1 - epsilon2) times (T1^4 - T2^4)
onde:
  • 1 - (1 - epsilon1)(1 - epsilon2) = 1 - (1 - 0,6)(1 - 0,3) = 1 - (0,4 times 0,7) = 1 - 0,28 = 0,72 ² é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • q = 5,670 times 10^-8 times 1,826 times 0,6 times 0,30,72 times (533,15^4 - 333,15^4) é a área dos discos,
  • q = 5,670 times 10^-8 times 1,826 times 0,25 times 6,856 times 10^10 é a emissividade do disco da direita,
  • q approx 5,670 times 10^-8 times 1,826 times 0,25 times 6,856 times 10^10 approx 1,785 times 10^5 , W é a emissividade do disco da esquerda,
  • é a temperatura do disco da direita,
  • é a temperatura do disco da esquerda.
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, substituímos todos os valores na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando tudo:

Resposta

A troca de energia por radiação entre os dois discos é aproximadamente watts.

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